Olimpíadas

Se z é um número complexo que satisfaz z [tex3]\in C - \mathbb{R}[/tex3] e [tex3]\frac{1+z^2+z}{1-z+z^2} \in \mathbb{R}[/tex3]

Então o valor numérico da expressão [tex3]\log27|z|[/tex3] (base 27).:

a)1342
b)1562
c)2012
d)2013
e)zero

Resposta

A

Até onde cheguei:

z é do tipo a +bi, com b não nulo.

[tex3]\in C - \mathbb{R}[/tex3] e [tex3]\frac{1+z^2+z}{1-z+z^2} = \frac{1-z+z^2 + 2z}{1-z+z^2}[/tex3] = 1+ [tex3]\frac{2z}{1-z+z^2}[/tex3]

Só isso mesmo, nao sei mas o que fazer.

[tex3]\frac{1+z^2-z+2z}{1-z+z^2}=1+\frac{2z}{1-z+z^2}[/tex3]

[tex3]1+\frac{2z}{1-z+z^2}\in \mathbb{R}[/tex3] [tex3]\therefore[/tex3] [tex3]\frac{2z}{1-z+z^2}\in \mathbb{R}[/tex3] . Fazendo [tex3]z=a+bi[/tex3] :

[tex3]\frac{2(a+bi)}{1-(a+bi)+(a+bi)^2[/tex3] =
[tex3]\frac{2a+2bi}{(a^{2}-b^{2}-a+1)+(2a-1)bi[/tex3]

Para essa expressão resultar em um número real, sua parte imaginária deve ser nula:

[tex3]\frac{2abi(1-2a)+2bi(a^{2}-b^{2}-a+1)}{(a^{2}-b^{2}-a+1)^{2}+b^{2}(2a-1)^{2}}=0[/tex3]
[tex3]a(1-2a)+a^{2}-b^{2}-a+1=0[/tex3]
[tex3]a-2a^{2}+a^{2}-b^{2}-a+1=0[/tex3]
[tex3]-a^{2}-b^{2}+1=0[/tex3]
[tex3]a^{2}+b^{2}=1[/tex3] [tex3]\therefore[/tex3] [tex3]|z|=1[/tex3]

Então:

[tex3]\log_{27}|z|=0[/tex3]

Olá, fiz de outra maneira e também cheguei à alternativa e), tens certeza sobre o gabarito?

Se $(1+z^2+z)$ é divisível por $(1+z^2-z)$ , então:

$(1+z^2+z) =k.(1+z^2-z)$

Com $k\in N^*$ .

$(1+z^2+z) =k.(1+z^2-z)$

$1+z^2+z =k+k.z^2-k.z$

$z^2.(1-k)+z.(1+k)+1 - k =0$

Fazendo $\Delta =0$

$(1+k)^2-4.(1-k).(1-k) =0$

$-3k^2+10k-3 =0$

$k = (3,\frac{1}{3})$

Para $k = 3$

$(1+z^2+z) =k.(1+z^2-z)$

$(1+z^2+z) =3.(1+z^2-z)$

$-z^2+2z-1 =0$

$z = 1$

Daí:

$log_{27}|z| =0$

Ittalo, para [tex3]\frac{1+z^2+z}{1-z+z^2} \in \mathbb{R}[/tex3] , não necessariamente [tex3](1+z^2+z)[/tex3] precisa ser divisível por [tex3](1+z^2-z)[/tex3] . Além do mais, [tex3]z=1\in \mathbb{R}[/tex3] , logo não atende a primeira condição do enunciado ([tex3]z\in C - \mathbb{R}[/tex3] ).

Entendi, obrigado

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