Olimpíadas ⇒ (Cone Sul/TST-2016)Equação
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Mai 2023
24
08:24
(Cone Sul/TST-2016)Equação
Considere os 15 trinômios do segundo grau x²-pix+qi onde (p1,p2,...p15,q1q2,...,,q15) é uma permutação de (1,2,....,30).Uma raiz desse trinômio é dita favorável se esta raiz é maior que 20. Se M o número total de raízes favoráveis destes 15 trinômios. Determine o maior valor possível de M.
Fev 2024
20
10:38
Re: (Cone Sul/TST-2016)Equação
Cada trinômio possui no máximo uma raíz favorável
Suponha por absurdo que [tex3]x_1[/tex3] e [tex3]x_2[/tex3] sejam duas raízes favoráveis de um trinômio, logo
[tex3]40>x_1+x_2=p_i[/tex3]
Contudo [tex3]p_i\leq 30[/tex3] .
[tex3]M[/tex3] é menor ou igual a [tex3]10[/tex3]
Sejam [tex3]p_i[/tex3] e [tex3]q_i[/tex3] números que gerem um trinômio com uma raiz favorável, desse modo
[tex3]20<\dfrac{p_i+\sqrt{p_i^2-4q_i}}{2}<\dfrac{p_i+p_i}{2}=p_i[/tex3]
Concluímos que os possíveis valores de [tex3]p_i[/tex3] que geram raízes favoráveis são [tex3]\{21,~22,~\ldots~,~30\}[/tex3]
Um exemplo com [tex3]10[/tex3] raízes favoráveis
Um conjunto de [tex3]10[/tex3] pares ordenados que geram raízes favoráveis é [tex3](p_i, ~q_i)[/tex3] é [tex3]\{(21,~1),~(22,~2),~(23,~3),~(24,~4),~(25,~5),~(26,~6),~(27,~7),~(28,~8),~(29,~9),~(30,~10)\}[/tex3] .
Mostremos que o par [tex3](20+k,~k),~k\geq1[/tex3] geram raízes favoráveis.
Note que
[tex3]\dfrac{20+k+\sqrt{(20+k)^2-4k}}{2}>\dfrac{20+k+\sqrt{400}}{2}>20[/tex3]
Concluímos que [tex3]M\leq10[/tex3].
Suponha por absurdo que [tex3]x_1[/tex3] e [tex3]x_2[/tex3] sejam duas raízes favoráveis de um trinômio, logo
[tex3]40>x_1+x_2=p_i[/tex3]
Contudo [tex3]p_i\leq 30[/tex3] .
[tex3]M[/tex3] é menor ou igual a [tex3]10[/tex3]
Sejam [tex3]p_i[/tex3] e [tex3]q_i[/tex3] números que gerem um trinômio com uma raiz favorável, desse modo
[tex3]20<\dfrac{p_i+\sqrt{p_i^2-4q_i}}{2}<\dfrac{p_i+p_i}{2}=p_i[/tex3]
Concluímos que os possíveis valores de [tex3]p_i[/tex3] que geram raízes favoráveis são [tex3]\{21,~22,~\ldots~,~30\}[/tex3]
Um exemplo com [tex3]10[/tex3] raízes favoráveis
Um conjunto de [tex3]10[/tex3] pares ordenados que geram raízes favoráveis é [tex3](p_i, ~q_i)[/tex3] é [tex3]\{(21,~1),~(22,~2),~(23,~3),~(24,~4),~(25,~5),~(26,~6),~(27,~7),~(28,~8),~(29,~9),~(30,~10)\}[/tex3] .
Mostremos que o par [tex3](20+k,~k),~k\geq1[/tex3] geram raízes favoráveis.
Note que
[tex3]\dfrac{20+k+\sqrt{(20+k)^2-4k}}{2}>\dfrac{20+k+\sqrt{400}}{2}>20[/tex3]
Concluímos que [tex3]M\leq10[/tex3].
Editado pela última vez por Kakashi em 20 Fev 2024, 10:42, em um total de 2 vezes.
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