IME / ITA ⇒ (EsPCEx - 2015) Sistemas Lineares Tópico resolvido

[lflusao]

Para que o sistema linear [tex3]\begin{cases}
x+y+az=1 \\
x+2y+z=2 \\
2x+5y-3z=b
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
x+y+az=1 \\
x+2y+z=2 \\
2x+5y-3z=b
\end{cases}[/tex3]

, em que [tex3]a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a[/tex3]

e [tex3]b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b[/tex3]

são reais, seja possível e indeterminado, o valor de [tex3]a+b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a+b[/tex3]

é igual a

[A] 10
11
12
[D] 13
[E] 14

[danjr5]

Coloquemos

Código: Selecionar tudo

[tex3]x[/tex3]

em função de

Código: Selecionar tudo

[tex3]y[/tex3]

e

Código: Selecionar tudo

[tex3]z[/tex3]

, na segunda equação; por conseguinte, substituímos

Código: Selecionar tudo

[tex3]x[/tex3]

nas equações I e III do sistema.

Temos que

Código: Selecionar tudo

[tex3]x = 2 - 2y - z[/tex3]

. Com efeito,

Código: Selecionar tudo

[tex3]\\ \begin{cases}(2 - 2y - z) + y + az = 1 \\ 2(2 - 2y - z) + 5y - 3z = b \end{cases} \\\\\\ \begin{cases} - y + (a - 1)z = - 1 \\ y - 5z = b - 4 \end{cases} \\ ------------ \\ (a - 1 - 5)z = - 1 + b - 4 \\ (a - 6)z = (b - 5)[/tex3]

Ora, o sistema será possível e indeterminado se

Código: Selecionar tudo

[tex3]0z = 0[/tex3]

. Portanto, concluímos que

Código: Selecionar tudo

[tex3]\boxed{a = 6}[/tex3]

e

Código: Selecionar tudo

[tex3]\boxed{b = 5}[/tex3]

.

Opção b!

A propósito, quanto a questão de logaritmos a equação é essa mesmo:

Código: Selecionar tudo

[tex3]y = e^x - e^{- 1}[/tex3]

?? O expoente do segundo "e" é {- 1}?

[undefinied3]

Escalonando o sistema:
[tex3]\begin{cases}x+y+az=1 \\ x+2y+z=2 \\ 2x+5y-3z=b\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}x+y+az=1 \\ x+2y+z=2 \\ 2x+5y-3z=b\end{cases}[/tex3]

Linha 2 - Linha 1:
[tex3]\begin{cases}x+y+az=1 \\ y+(1-a)z=1 \\ 2x+5y-3z=b\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}x+y+az=1 \\ y+(1-a)z=1 \\ 2x+5y-3z=b\end{cases}[/tex3]

Linha 3 - 2*Linha 1:
[tex3]\begin{cases}x+y+az=1 \\ y+(1-a)z=1 \\ 3y+(-3-2a)z=b-2\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}x+y+az=1 \\ y+(1-a)z=1 \\ 3y+(-3-2a)z=b-2\end{cases}[/tex3]

Linha 3 - 3*Linha 2:
[tex3]\begin{cases}x+y+az=1 \\ y+(1-a)z=1 \\ (-3-2a)z-(3-3a)z=b-5\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}x+y+az=1 \\ y+(1-a)z=1 \\ (-3-2a)z-(3-3a)z=b-5\end{cases}[/tex3]

[tex3](-6+a)z=b-5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](-6+a)z=b-5[/tex3]

Para S.P.I., temos obrigatoriamente que:
[tex3]-6+a=0 \rightarrow a=6[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-6+a=0 \rightarrow a=6[/tex3]

[tex3]b-5=0 \rightarrow b=5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b-5=0 \rightarrow b=5[/tex3]

[tex3]a+b=6+5=11[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a+b=6+5=11[/tex3]

EDIT: Ops, resolveram antes de mim durante a postagem, a resolução é a mesma.

[lflusao]

é -x já arrumei

[Xandinhuu]

Olá, boa noite, desculpem "ressuscitar" esse tópico, é que eu gostaria de saber se a forma que eu utilizei pra resolver(com matrizes) foi usada de forma correta.

Fiz o determinante do sistema:

[tex3]D \left[ \begin{array}{ccc}
1 & 1 & a \\
1 & 2 & 1\\
2 & 5 & -3
\end{array} \right] = a-6[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]D \left[ \begin{array}{ccc}
1 & 1 & a \\
1 & 2 & 1\\
2 & 5 & -3
\end{array} \right] = a-6[/tex3]

Como o sistema deve ser possível e indeterminado, o determinante deve ser 0, logo:

a-6 = 0
a=6

Agora farei o determinante do Z do sistema, para trabalhar com apenas a incógnita que é necessária (b):

[tex3]Dz \left[ \begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 2\\
2 & 5 & b
\end{array} \right] = b-5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Dz \left[ \begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 2\\
2 & 5 & b
\end{array} \right] = b-5[/tex3]

Da mesma forma, o determinante do Z deve ser 0, logo

b-5=0
b=5

Desta forma, 6+5=11

Está tudo correto? obrigado.