IME / ITA

kevin22

Seja um triângulo [tex3]ABC[/tex3] . De [tex3]B[/tex3] e de [tex3]C[/tex3] tiram-se duas cevianas [tex3]BN[/tex3] e [tex3]CP[/tex3] . Seja [tex3]BN\cap CP = {O}[/tex3] . De [tex3]A[/tex3] tira-se a ceviana [tex3]AO[/tex3] que corta [tex3]BC[/tex3] em [tex3]M[/tex3] . Seja [tex3]PN\cap BC= {S}[/tex3] . Demonstre que [tex3]M[/tex3] e [tex3]S[/tex3] dividem harmonicamente o lado [tex3]BC[/tex3] .

Mensagem não lidapor **jedi** » Qua 30 Jul, 2014 13:42 · Mensagem não lida por **jedi** » Qua 30 Jul, 2014 13:42

: rel_harm.png (6.33 KiB) Exibido 1111 vezes

$\frac{CM}{sen(t)}=\frac{MO}{sen(x)}$

$\frac{BM}{sen(s)}=\frac{MO}{sen(y)}$

$\frac{CM}{BM}=\frac{sen(t).sen(y)}{sen(s).sen(x)}$

$\frac{AO}{sen(r)}=\frac{AN}{sen(s)}$

$\frac{AO}{sen(z)}=\frac{AP}{sen(t)}$

$\frac{sen(t)}{sen(s)}=\frac{AP.sen(z)}{AN.sen(r)}$

$\frac{sen(t)}{sen(s)}=\frac{sen(q).sen(z)}{sen(h).sen(r)}$

$\frac{sen(q)}{CP}=\frac{sen(j)}{CN}$

$\frac{sen(r)}{CB}=\frac{sen(y)}{CN}$

$\frac{sen(t)}{sen(s)}=\frac{CP.sen(j).sen(z)}{CB.sen(h).sen(y)}$

$\frac{sen(z)}{CB}=\frac{sen(k)}{CP}$

$\frac{sen(t)}{sen(s)}=\frac{sen(j).sen(k)}{sen(h).sen(y)}$

$\frac{CM}{BM}=\frac{sen(y)}{sen(x)}.\frac{sen(j).sen(k)}{sen(h).sen(y)}$

$\frac{CM}{BM}=\frac{sen(j).sen(k)}{sen(h).sen(x)}$

$\frac{CS}{sen(j)}=\frac{PS}{sen(x)}$

$\frac{BS}{sen(h)}=\frac{PS}{sen(k)}$

$\frac{CS}{BS}=\frac{sen(j).sen(k)}{sen(h)sen(x)}$

portanto

$\frac{CM}{BM}=\frac{CS}{BS}=\frac{sen(j).sen(k)}{sen(h)sen(x)}$

talvez não tenha ficado muito claro porque utiliza muitos angulos e relações vou tentar melhorar a resposta se conseguir posto aqui

kevin22

Achei uma maneira mais fácil! Aplicando os teoremas de Menelaus e Ceva

IME / ITA ⇒ (IME - 1974) Divisão Harmônica Tópico resolvido

(IME - 1974) Divisão Harmônica

Re: (IME - 1974) Divisão Harmônica

Re: (IME - 1974) Divisão Harmônica

IME / ITA ⇒ (IME - 1974) Divisão Harmônica Tópico resolvido

(IME - 1974) Divisão Harmônica

Re: (IME - 1974) Divisão Harmônica

Re: (IME - 1974) Divisão Harmônica

Entrar • Registrar