IME / ITA ⇒ CN - 1984. Produtos notáveis Tópico resolvido

[Papiro8814]

[tex3]\sqrt{3 + 2\sqrt[3]{2\sqrt{2}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{3 + 2\sqrt[3]{2\sqrt{2}}}[/tex3]

- [tex3]\sqrt{3 - 2\sqrt[3]{2\sqrt{2}}}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{3 - 2\sqrt[3]{2\sqrt{2}}}[/tex3]

Resposta

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2

Já resolvi questões de radicais duplos, mas essa é a primeira vez que vejo uma nesse estilo. já tentei simplificar e encontrei como resposta 4, mas não bate com o gabarito...

[ProfLaplace]

Opa, tudo bem?
Veja que [tex3]\sqrt[3]{2\sqrt{2}}=\sqrt[3]{2\cdot2^{1/2}}=\sqrt[3]{2^{3/2}}=2^{1/2}=\sqrt{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt[3]{2\sqrt{2}}=\sqrt[3]{2\cdot2^{1/2}}=\sqrt[3]{2^{3/2}}=2^{1/2}=\sqrt{2}[/tex3]

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Assim, sua expressão fica [tex3]\sqrt{3+2\sqrt{2}}-\sqrt{3-2\sqrt{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{3+2\sqrt{2}}-\sqrt{3-2\sqrt{2}}[/tex3]

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Agora vem o truque! É possível fatorar estes radicandos:
[tex3]3+2\sqrt{2}=2+2\sqrt{2}+1=(\sqrt{2}+1)^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3+2\sqrt{2}=2+2\sqrt{2}+1=(\sqrt{2}+1)^{2}[/tex3]

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Analogamente, [tex3]3-2\sqrt{2}=2-2\sqrt{2}+1=(\sqrt{2}-1)^{2}[/tex3]

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[tex3]3-2\sqrt{2}=2-2\sqrt{2}+1=(\sqrt{2}-1)^{2}[/tex3]

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Portanto, a conta inteira fica:
[tex3]\sqrt{(\sqrt{2}+1)^{2}}-\sqrt{(\sqrt{2}-1)^{2}}=|\sqrt{2}+1|-|\sqrt{2}-1|=(\sqrt{2}+1)-(\sqrt{2}-1)=2[/tex3]

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[tex3]\sqrt{(\sqrt{2}+1)^{2}}-\sqrt{(\sqrt{2}-1)^{2}}=|\sqrt{2}+1|-|\sqrt{2}-1|=(\sqrt{2}+1)-(\sqrt{2}-1)=2[/tex3]

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[Papiro8814]

Opa, tudo bem?
Veja que [tex3]\sqrt[3]{2\sqrt{2}}=\sqrt[3]{2\cdot2^{1/2}}=\sqrt[3]{2^{3/2}}=2^{1/2}=\sqrt{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt[3]{2\sqrt{2}}=\sqrt[3]{2\cdot2^{1/2}}=\sqrt[3]{2^{3/2}}=2^{1/2}=\sqrt{2}[/tex3]

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Assim, sua expressão fica [tex3]\sqrt{3+2\sqrt{2}}-\sqrt{3-2\sqrt{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{3+2\sqrt{2}}-\sqrt{3-2\sqrt{2}}[/tex3]

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Agora vem o truque! É possível fatorar estes radicandos:
[tex3]3+2\sqrt{2}=2+2\sqrt{2}+1=(\sqrt{2}+1)^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3+2\sqrt{2}=2+2\sqrt{2}+1=(\sqrt{2}+1)^{2}[/tex3]

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Analogamente, [tex3]3-2\sqrt{2}=2-2\sqrt{2}+1=(\sqrt{2}-1)^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3-2\sqrt{2}=2-2\sqrt{2}+1=(\sqrt{2}-1)^{2}[/tex3]

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Portanto, a conta inteira fica:
[tex3]\sqrt{(\sqrt{2}+1)^{2}}-\sqrt{(\sqrt{2}-1)^{2}}=|\sqrt{2}+1|-|\sqrt{2}-1|=(\sqrt{2}+1)-(\sqrt{2}-1)=2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{(\sqrt{2}+1)^{2}}-\sqrt{(\sqrt{2}-1)^{2}}=|\sqrt{2}+1|-|\sqrt{2}-1|=(\sqrt{2}+1)-(\sqrt{2}-1)=2[/tex3]

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Muito obrigado