02) Prove que em um triângulo ABC é válida a relação
𝑐𝑜𝑠 2𝐴 + 𝑐𝑜𝑠 2𝐵 + 𝑐𝑜𝑠 2𝐶 = −(1 + 4 cos 𝐴. cos 𝐵. cos 𝐶)
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Ensino Médio ⇒ trigonometria Tópico resolvido
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21:38
Re: trigonometria
Use a fórmula de prostaférese nos dois primeiros termos:
[tex3]2\cos{(A+B)}\cos{(A-B)}+\cos{2C}[/tex3] .
Mas [tex3]C=\pi-A-B[/tex3] , e assim [tex3]\cos{2C}=\cos{(2\pi-2A-2B)}=\cos{(2A+2B)=2{\cos^{2}{(A+B)}-1}}[/tex3] , onde na última igualdade usei a fórmula do arco duplo para o cosseno.
Então a conta inteira fica:
[tex3]2\cos{(A+B)}\cos{(A-B)}+2{\cos^{2}{(A+B)}-1}=2cos{(A+B)}\cdot(\cos{(A-B)}+\cos{(A+B)})-1[/tex3] .
Usando prostaférese novamente (ou simplesmente abrindo a soma e subtração de arcos), temos:
[tex3]2\cos{(A+B)}\cdot(2\cos{A}\cos{B})-1[/tex3] .
Mas [tex3]\cos{(A+B)}=\cos{(\pi-C)}=-\cos{C}[/tex3] .
Então a expressão inteira fica:
[tex3]-4\cos{A}\cos{B}\cos{C}-1=-(1+4\cos{A}\cos{B}\cos{C})[/tex3] .
[tex3]2\cos{(A+B)}\cos{(A-B)}+\cos{2C}[/tex3] .
Mas [tex3]C=\pi-A-B[/tex3] , e assim [tex3]\cos{2C}=\cos{(2\pi-2A-2B)}=\cos{(2A+2B)=2{\cos^{2}{(A+B)}-1}}[/tex3] , onde na última igualdade usei a fórmula do arco duplo para o cosseno.
Então a conta inteira fica:
[tex3]2\cos{(A+B)}\cos{(A-B)}+2{\cos^{2}{(A+B)}-1}=2cos{(A+B)}\cdot(\cos{(A-B)}+\cos{(A+B)})-1[/tex3] .
Usando prostaférese novamente (ou simplesmente abrindo a soma e subtração de arcos), temos:
[tex3]2\cos{(A+B)}\cdot(2\cos{A}\cos{B})-1[/tex3] .
Mas [tex3]\cos{(A+B)}=\cos{(\pi-C)}=-\cos{C}[/tex3] .
Então a expressão inteira fica:
[tex3]-4\cos{A}\cos{B}\cos{C}-1=-(1+4\cos{A}\cos{B}\cos{C})[/tex3] .
Editado pela última vez por ProfLaplace em 24 Mar 2024, 21:43, em um total de 2 vezes.
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