IME / ITA ⇒ Bases de numeração-(CN) Tópico resolvido

[papirador]

Um inteiro positivo N quando escrito na base 3 se escreve com "m" algarismos e quando escrito na base 2 se escreve com "m+1" algarismos. O maior valor possível de m é:
A)1
B)2
C)3
D)4
E)5

Resposta

---

D

[petras]

papirador,

[tex3]\begin{array}{|c|c|}
\hline \text{Base 10} & \text{Base 3}&\text {Base 2} \\
\hline 1 & 1&1 \\
\hline 2 & 2&10 \\
\hline 3&10&11\\
\hline \color{red}4&\color{red}11&\color{red}100\\
\hline
\end{array}\\
\therefore \boxed{m=4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{array}{|c|c|}
\hline \text{Base 10} & \text{Base 3}&\text {Base 2} \\
\hline 1 & 1&1 \\
\hline 2 & 2&10 \\
\hline 3&10&11\\
\hline \color{red}4&\color{red}11&\color{red}100\\
\hline
\end{array}\\
\therefore \boxed{m=4}[/tex3]

(Solução:Elcioschin)

[papirador]

Petras, esse não seria o valor de N?

[petras]

papirador,

Desconsidere a resolução do colega acima..
Segue a resolução correta

Note que a quantidade de números de n algarismos de uma base b será a quantidade de números
de n-1 algarismos vezes b-1. Isto se dá, pois os números de n algarismos são os números de n-1
algarismos adicionado um algarismo dentre aqueles possíveis na frente deste número, excetuando
o zero, logo, b-1 algarismos possíveis a serem adicionados à frente desse número. Assim, podemos
nos orientar com os números na base decimal em quantidade de algarismos em uma respectiva
base.

Dessa forma, analisando a tabela abaixo com referência dos números na base decimal, temos que
a quantidade de algarismos na base 2 cresce muito mais rápido do que a da base 3

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Note que quando a base 3 possui 5 algarismos no intervalo de números [81,242], a base 2 já
está com 6 algarismos num intervalo inferior de [32,63]. Logo o maior m possível é diferente de 5.
Note que quando a base 3 possui 4 algarismos no intervalo de números [27,80], a base 2 possui
interseção com este intervalo quando esta possui 5 algarismos devido ao intervalo [16,31]. Assim,
existe o intervalo [27,31] que atende aos requisitos do problema. Como para m>5 já foi visto que
não é possível devido ao crescimento mais acelerado da base 2, temos que o maior valor possível
de m será 4.
(Solução:Prof.IsmaelSantos)

31 --:1011(3)--:11111(2) --: m=4-m5
32--:1012(3)--:100000(2): m=4-m6