IME / ITA ⇒ funçoes ITA/IME Tópico resolvido

[gabrielmacc]

04. Uma função 𝑓: 𝑁 → 𝑁 é definida como
𝑓(𝑛) = {2𝑛 + 1, 𝑠𝑒 𝑛 é 𝑝𝑎𝑟
𝑛², 𝑠𝑒 𝑛 é í𝑚𝑝𝑎𝑟

para todo natural n. Então, a função f é
a) sobrejetora, mas não injetora
b) injetora, mas não sobrejetora
c) bijetora
d) nem injetora nem sobrejetora

[ProfLaplace]

Observe que [tex3]f(4)=2\cdot 4+1=9[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(4)=2\cdot 4+1=9[/tex3]

e também que [tex3]f(3)=3^{2}=9[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(3)=3^{2}=9[/tex3]

. Sendo assim, [tex3]f(4)=f(3)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(4)=f(3)[/tex3]

e a função não é injetora.
Para ver que ela não é sobrejetora, basta notar que 2 não está na imagem por exemplo.

Alternativa D.

Caso queira, também há outra forma de provar que ela não é sobrejetora:
Temos que se n é ímpar, então n² também é ímpar. Além disso, (2n+1) é sempre ímpar, para todo n natural. Ou seja, a função sempre retorna um número ímpar, qualquer que seja o n colocado. Isso mostra que sua imagem está contida no conjunto dos números naturais ímpares. Portanto a imagem não é igual a [tex3]\mathbb{N}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathbb{N}[/tex3]

e a função não é sobrejetora.