IME / ITA ⇒ Geometria Analítica Tópico resolvido

[ASPIRANTE23]

Uma elipse tem focos nos pontos [tex3](0, 2) e (0, -2)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](0, 2) e (0, -2)[/tex3]

, e sua excentricidade mede [tex3]0,6[/tex3]

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[tex3]0,6[/tex3]

. A equação da reta tangente a essa elipse e que passa pelo ponto [tex3]P \left(\frac{4\sqrt{2}}{3}\right), \left(\frac{5\sqrt{2}}{3}\right)[/tex3]

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[tex3]P \left(\frac{4\sqrt{2}}{3}\right), \left(\frac{5\sqrt{2}}{3}\right)[/tex3]

é:

Resposta

---

[tex3]15x + 12y-40\sqrt{2}=0[/tex3]

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[tex3]15x + 12y-40\sqrt{2}=0[/tex3]

[παθμ]

ASPIRANTE23,

A semi-distância focal é [tex3]c=2[/tex3]

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[tex3]c=2[/tex3]

e a excentricidade é [tex3]0,6,[/tex3]

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[tex3]0,6,[/tex3]

então o semi-eixo maior é [tex3]b=\frac{c}{e}=\frac{10}{3}[/tex3]

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[tex3]b=\frac{c}{e}=\frac{10}{3}[/tex3]

(note que estou usando "b" aqui porque a elipse é vertical).

Para achar o semi-eixo menor, horizontal: [tex3]a^2=b^2-c^2 \Longrightarrow a=\frac{8}{3}.[/tex3]

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[tex3]a^2=b^2-c^2 \Longrightarrow a=\frac{8}{3}.[/tex3]

A equação da elipse é [tex3]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \Longrightarrow \frac{9x^2}{64}+\frac{9y^2}{100}=1.[/tex3]

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[tex3]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \Longrightarrow \frac{9x^2}{64}+\frac{9y^2}{100}=1.[/tex3]

Diferencia os dois lados implicitamente:

[tex3]\frac{9 \cdot 2x \; dx}{64}+ \frac{9 \cdot 2y \; dy}{100}=0 \Longrightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{25}{16} \frac{x}{y}.[/tex3]

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[tex3]\frac{9 \cdot 2x \; dx}{64}+ \frac{9 \cdot 2y \; dy}{100}=0 \Longrightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{25}{16} \frac{x}{y}.[/tex3]

No ponto P, temos [tex3]\frac{x}{y}=\frac{4}{5},[/tex3]

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[tex3]\frac{x}{y}=\frac{4}{5},[/tex3]

e portanto o coeficiente angular da reta tangente é [tex3]a=\left.\frac{dy}{dx}\right|_P=-\frac{5}{4}.[/tex3]

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[tex3]a=\left.\frac{dy}{dx}\right|_P=-\frac{5}{4}.[/tex3]

A equação da reta é, então: [tex3]y-\frac{5\sqrt{2}}{3}=-\frac{5}{4}\left(x-\frac{4\sqrt{2}}{3}\right) \Longrightarrow \boxed{15x+12y-40\sqrt{2}=0}[/tex3]

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[tex3]y-\frac{5\sqrt{2}}{3}=-\frac{5}{4}\left(x-\frac{4\sqrt{2}}{3}\right) \Longrightarrow \boxed{15x+12y-40\sqrt{2}=0}[/tex3]