Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Física III ⇒ (SOIF 2016) Feixe de prótons Tópico resolvido
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Abr 2024
22
21:27
(SOIF 2016) Feixe de prótons
Um feixe bem colimado de prótons é produzido na forma de um cilindro de raio [tex3]R.[/tex3]
A velocidade dos prótons ao longo do cilindro é [tex3]v,[/tex3]
e a densidade de partículas é [tex3]\rho.[/tex3]
Determine a força no próton que está no raio [tex3]r[/tex3]
e discuta qualitativamente a estabilidade do feixe de prótons na ausência de colimação.-
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Abr 2024
22
21:28
Re: (SOIF 2016) Feixe de prótons
Solução:
A densidade de corrente é [tex3]J=\rho q v,[/tex3] onde [tex3]q[/tex3] é a carga do próton.
A corrente que atravessa um círculo de raio [tex3]r[/tex3] centrado no centro do feixe é [tex3]I(r)=J \pi r^2=\pi \rho q v r^2.[/tex3]
Então o campo magnético no feixe é [tex3]B(r)=\frac{\mu_0 I(r)}{2\pi r}=\frac{\mu_0 \rho q v r}{2}.[/tex3]
Considerando um cilindro imaginário, concêntrico ao feixe, de comprimento [tex3]l,[/tex3] só há campo elétrico na sua parte lateral, e ele deve ser radial para fora. Então o fluxo elétrico é [tex3]2\pi r l E(r),[/tex3] além de que a carga nesse cilindro é [tex3]\pi r^2 l\rho q.[/tex3]
Lei de Gauss: [tex3]2\pi r l E(r)=\frac{\pi r^2 l \rho q}{\epsilon_0} \Longrightarrow E(r)=\frac{\rho q r}{2\epsilon_0}.[/tex3]
A força eletrostática no próton é radial para fora e igual a [tex3]qE,[/tex3] enquanto a força magnética é radial para dentro (use a regra da mão direita) e igual a [tex3]qvB.[/tex3]
Daí, a força resultante nesse próton, positiva para fora, é [tex3]F=qE-qvB=\frac{\rho q^2r}{2}\left(\frac{1}{\epsilon_0}-\mu_0 v^2\right).[/tex3]
Usando [tex3]c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}} \Longrightarrow \mu_0=\frac{1}{\epsilon_0 c^2},[/tex3] é possível apresentar o resultado da seguinte forma:
[tex3]\boxed{F=\frac{\rho q^2r}{2\epsilon_0}\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)}[/tex3]
Como [tex3]v < c,[/tex3] temos [tex3]F>0.[/tex3] Isso significa que, na ausência de colimação, o feixe divergirá.
A densidade de corrente é [tex3]J=\rho q v,[/tex3] onde [tex3]q[/tex3] é a carga do próton.
A corrente que atravessa um círculo de raio [tex3]r[/tex3] centrado no centro do feixe é [tex3]I(r)=J \pi r^2=\pi \rho q v r^2.[/tex3]
Então o campo magnético no feixe é [tex3]B(r)=\frac{\mu_0 I(r)}{2\pi r}=\frac{\mu_0 \rho q v r}{2}.[/tex3]
Considerando um cilindro imaginário, concêntrico ao feixe, de comprimento [tex3]l,[/tex3] só há campo elétrico na sua parte lateral, e ele deve ser radial para fora. Então o fluxo elétrico é [tex3]2\pi r l E(r),[/tex3] além de que a carga nesse cilindro é [tex3]\pi r^2 l\rho q.[/tex3]
Lei de Gauss: [tex3]2\pi r l E(r)=\frac{\pi r^2 l \rho q}{\epsilon_0} \Longrightarrow E(r)=\frac{\rho q r}{2\epsilon_0}.[/tex3]
A força eletrostática no próton é radial para fora e igual a [tex3]qE,[/tex3] enquanto a força magnética é radial para dentro (use a regra da mão direita) e igual a [tex3]qvB.[/tex3]
Daí, a força resultante nesse próton, positiva para fora, é [tex3]F=qE-qvB=\frac{\rho q^2r}{2}\left(\frac{1}{\epsilon_0}-\mu_0 v^2\right).[/tex3]
Usando [tex3]c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}} \Longrightarrow \mu_0=\frac{1}{\epsilon_0 c^2},[/tex3] é possível apresentar o resultado da seguinte forma:
[tex3]\boxed{F=\frac{\rho q^2r}{2\epsilon_0}\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)}[/tex3]
Como [tex3]v < c,[/tex3] temos [tex3]F>0.[/tex3] Isso significa que, na ausência de colimação, o feixe divergirá.
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