Física III ⇒ (FB) Campo Magnético Tópico resolvido

[careca]

Um capacitor constituído de placas paralelas e quadradas de aresta a é carregado com o potencial V. A distância entre as placas d é muito menor que as arestas (d <<< a). Se o capacitor se move com uma velocidade v (paralela a uma das arestas), determine o campo magnético gerado no interior dele. Desconsidere efeitos relativísticos.

Resposta

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[tex3]\frac{μ.ε.V.v}{d}[/tex3]

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[tex3]\frac{μ.ε.V.v}{d}[/tex3]

[joaopcarv]

Devido à consideração de que [tex3]\mathsf{d \ <<< \ a}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{d \ <<< \ a}[/tex3]

, tem-se um capacitor de placas paralelas:

[tex3]\mathsf{C \ = \ \dfrac{\epsilon \cdot A}{d}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{C \ = \ \dfrac{\epsilon \cdot A}{d}}[/tex3]

Considerando a situação estática:

Sua carga é: [tex3]\mathsf{Q \ = \ C \cdot V \rightarrow \ Q \ = \ \dfrac{\epsilon \cdot A \cdot V}{d}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{Q \ = \ C \cdot V \rightarrow \ Q \ = \ \dfrac{\epsilon \cdot A \cdot V}{d}}[/tex3]

A densidade superficial da carga nas placas é: [tex3]\mathsf{\sigma \ = \ \dfrac{Q}{A} \ \rightarrow \ \sigma \ = \dfrac{\epsilon \cdot \cancel{A} \cdot V}{d \cdot \cancel{A}} \ \rightarrow \ \sigma \ = \ \dfrac{\epsilon \cdot V}{d}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\sigma \ = \ \dfrac{Q}{A} \ \rightarrow \ \sigma \ = \dfrac{\epsilon \cdot \cancel{A} \cdot V}{d \cdot \cancel{A}} \ \rightarrow \ \sigma \ = \ \dfrac{\epsilon \cdot V}{d}}[/tex3]

Usarei os seguintes esboços para a explicação:

Primeiramente, o movimento do capacitor gera uma corrente uma corrente elétrica laminar na direção do mesmo. Para quantificar essa corrente [tex3]\mathsf{I}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{I}[/tex3]

, fazemos as seguintes considerações:

• Um movimento infinitesimal [tex3]\mathsf{dx}[/tex3]

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  [tex3]\mathsf{dx}[/tex3]

  desloca uma área [tex3]\mathsf{dA \ = \ a \ dx}[/tex3]

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  [tex3]\mathsf{dA \ = \ a \ dx}[/tex3]

  , o que reflete no deslocamento das cargas nas superfícies das placas (sendo isso a própria corrente gerada);

• No movimento infinitesimal, uma parcela infinitesimal [tex3]\mathsf{dq}[/tex3]

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  [tex3]\mathsf{dq}[/tex3]

  de carga é deslocada;

• A densidade superficial de corrente permanece constante, porque não há injeção ou perda de cargas no processo.

A densidade nessa parametrização é: [tex3]\mathsf{\sigma \ = \ \dfrac{dq}{dA} \ \rightarrow \ \sigma \ = \ \dfrac{dq}{a \ dx}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\sigma \ = \ \dfrac{dq}{dA} \ \rightarrow \ \sigma \ = \ \dfrac{dq}{a \ dx}}[/tex3]

Sendo essa constante:

[tex3]\mathsf{\underbrace{\dfrac{\epsilon \cdot V}{d}}_{estático} \ = \underbrace{\dfrac{dq}{a \ dx}}_{em \ movimento}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\underbrace{\dfrac{\epsilon \cdot V}{d}}_{estático} \ = \underbrace{\dfrac{dq}{a \ dx}}_{em \ movimento}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{dq \ = \ \dfrac{\epsilon \cdot V}{d} \cdot a \ dx}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{dq \ = \ \dfrac{\epsilon \cdot V}{d} \cdot a \ dx}[/tex3]

Diferenciando pelo tempo:

[tex3]\mathsf{\dfrac{dq}{dt} \ = \ \dfrac{\epsilon \cdot V}{d} \cdot a \ \dfrac{dx}{dt} \ \rightarrow \ I \ = \ \dfrac{\epsilon \cdot V \cdot a \cdot v}{d}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\dfrac{dq}{dt} \ = \ \dfrac{\epsilon \cdot V}{d} \cdot a \ \dfrac{dx}{dt} \ \rightarrow \ I \ = \ \dfrac{\epsilon \cdot V \cdot a \cdot v}{d}}[/tex3]

Para calcular o campo/indução [tex3]\mathsf{\vec{B}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\vec{B}}[/tex3]

, ao invés de usar a lei de Biot-Savart (complexa), usaremos a lei de Ampère.

Primeiramente, ao dividirmos a corrente laminar em infinitas linhas de corrente [tex3]\mathsf{i}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{i}[/tex3]

, levando em conta mais uma vez que [tex3]\mathsf{d \ <<< \ a}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{d \ <<< \ a}[/tex3]

(placa "infinitamente" grande - espraiamento desprezível), percebe-se que cada linha de corrente contribui apenas na direção perpendicular ao movimento.

Por fim, a amperiana desenvolvida por [tex3]\mathsf{\vec{B}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\vec{B}}[/tex3]

está em um plano paralelo ao campo elétrico [tex3]\mathsf{\vec{E}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\vec{E}}[/tex3]

mantido entre as placas do capacitor, de forma que o fluxo do campo elétrico e sua variação nessa amperiana são [tex3]\mathsf{0}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{0}[/tex3]

.

Aplicando a lei de Ampère:

[tex3]\mathsf{\oint \vec{B} \cdot \vec{dl} \ = \ \mu \cdot I_{enc} \ + \ \mu \cdot \epsilon \cdot \cancelto{0}{\dfrac{\partial \Phi_{el}}{\partial t}}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\oint \vec{B} \cdot \vec{dl} \ = \ \mu \cdot I_{enc} \ + \ \mu \cdot \epsilon \cdot \cancelto{0}{\dfrac{\partial \Phi_{el}}{\partial t}}}[/tex3]

A amperiana engloba a corrente [tex3]\mathsf{I_{enc} \ = \ I:}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{I_{enc} \ = \ I:}[/tex3]

[tex3]\mathsf{B \cdot \cancel{a} \ = \ \mu \cdot \dfrac{\epsilon \cdot V \cdot \cancel{a} \cdot v}{d} \ \therefore}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{B \cdot \cancel{a} \ = \ \mu \cdot \dfrac{\epsilon \cdot V \cdot \cancel{a} \cdot v}{d} \ \therefore}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{B \ = \ \dfrac{\mu \cdot \epsilon \cdot V \cdot v}{d}}}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{B \ = \ \dfrac{\mu \cdot \epsilon \cdot V \cdot v}{d}}}}[/tex3]