Pré-Vestibular ⇒ (UNESP) Valor do resto na divisão Tópico resolvido

[mclaratrajano]

(Unesp) Um número natural n, quando dividido por 7, deixa resto 5. Qual será o resto na divisão de [tex3]n^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n^{2}[/tex3]

+ n por 7?
a)5
b)4
c)3
d)2
e)1

Resposta

---

d

Olá! Alguém pode me dizer qual o raciocínio necessário para resolver essa pergunta? Estou me deparando muito com esse tipo de questão, em que da equação D=d.q+r, o enunciado informa apenas o valor de duas variáveis, geralmente o resto e o divisor, e pergunta qual o valor do resto ao dividir esse mesmo dividendo por outro valor, ou modificando o dividendo e dividindo pelo mesmo divisor, pedindo outro resto. Como posso prosseguir?

[careca]

Poderíamos pensar na aritmética dos restos (evitarei de usar o termo (mod) porque não é comum para alunos de ensino médio padrão)

[tex3]\frac{n^2+n}{7} = \frac{n^2}{7} +\frac{n}{7}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{n^2+n}{7} = \frac{n^2}{7} +\frac{n}{7}[/tex3]

Daí, poderíamos entender o número pelos seus restos. Ou seja, (n = 5) quando trabalhamos na divisão por 7. quando elevamos a quadrado -> n² = 25 e 25/7 deixa resto 4 na divisão por 7, então (n^2 = 4).

Daí: [tex3]\frac{n^2+n}{7} = \frac{n^2}{7} +\frac{n}{7} =(4+5)[div_7] =9[div_7] =2[div_7][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{n^2+n}{7} = \frac{n^2}{7} +\frac{n}{7} =(4+5)[div_7] =9[div_7] =2[div_7][/tex3]

Então o resto vai ser 2

[mclaratrajano]

Poderíamos pensar na aritmética dos restos (evitarei de usar o termo (mod) porque não é comum para alunos de ensino médio padrão)

[tex3]\frac{n^2+n}{7} = \frac{n^2}{7} +\frac{n}{7}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{n^2+n}{7} = \frac{n^2}{7} +\frac{n}{7}[/tex3]

Daí, poderíamos entender o número pelos seus restos. Ou seja, (n = 5) quando trabalhamos na divisão por 7. quando elevamos a quadrado -> n² = 25 e 25/7 deixa resto 4 na divisão por 7, então (n^2 = 4).

Daí: [tex3]\frac{n^2+n}{7} = \frac{n^2}{7} +\frac{n}{7} =(4+5)[div_7] =9[div_7] =2[div_7][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{n^2+n}{7} = \frac{n^2}{7} +\frac{n}{7} =(4+5)[div_7] =9[div_7] =2[div_7][/tex3]

Então o resto vai ser 2

Muito obrigada!

[rcompany]

[tex3]\textbf{Ou}\\\text{temos: }n=7k+5\quad,\ k\in\mathbb{N}\\[12pt]
\begin{array}{rl}n=7k+5\Longrightarrow n^2+n&=(7k+5)^2+7k+5=49k^2+77k+30\\[6pt]
&=49k^2+77k+4\times 7+2\\[6pt]
&=7(7k^2+11k+4)+2\quad\text{, com 2<7}
\end{array}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\textbf{Ou}\\\text{temos: }n=7k+5\quad,\ k\in\mathbb{N}\\[12pt]
\begin{array}{rl}n=7k+5\Longrightarrow n^2+n&=(7k+5)^2+7k+5=49k^2+77k+30\\[6pt]
&=49k^2+77k+4\times 7+2\\[6pt]
&=7(7k^2+11k+4)+2\quad\text{, com 2<7}
\end{array}[/tex3]