Pré-Vestibular

Na figura ao lado, 0 é o centro do círculo, o ângulo ABC mede 30º, $CD\perp AB$ e CD=3cm. A área do círculo, em $\text{cm}^2$ , é igual a:

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a) $36\pi$
b) $25 \pi$
c) $20\pi$
d) $12\pi$
e) $6\pi$

Resposta

Resposta é letra "D"

Traçando o segmento $\overline{AC}$ , assim o triângulo ABC formado é retângulo de hipotenusa [tex3]2R[/tex3] , pois está incrito em um semicírculo, e [tex3]m\angle BAC=60^\circ[/tex3]

[tex3]\overline{BD}=\frac{\overline{CD}}{tg30^\circ}[/tex3]
[tex3]\overline{BD}=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{3}}[/tex3]
[tex3]\overline{BD}=\frac{9}{\sqrt{3}}[/tex3]
[tex3]\overline{BD}=\frac{9}{\sqrt{3}}[/tex3]
[tex3]\overline{BD}=3\sqrt{3}[/tex3]

e

[tex3]\overline{AD}=\frac{\overline{CD}}{tg60^\circ}[/tex3]
[tex3]\overline{AD}=\frac{3}{\sqrt{3}}[/tex3]
[tex3]\overline{AD}=\sqrt{3}[/tex3]

Assim [tex3]2R=3\sqrt{3}+\sqrt{3}=4\sqrt{3}[/tex3]
[tex3]R=2\sqrt{3}[/tex3]

logo [tex3]S=\pi (2\sqrt{3})^2[/tex3]
[tex3]S=\pi \cdot4 \cdot 3[/tex3]
[tex3]S=12\pi[/tex3]

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