Pré-Vestibular

Um terreno com 100 m² de área tem a forma de um trapézio isósceles, cuja diagonal
mede [tex3]10\sqrt{3}[/tex3] . Os lados não paralelos formam com a base angulos de 45º.
Determine os lados do terreno.

Considere a figura:

: Trapézio isósceles_2.jpg (10.11 KiB) Exibido 1171 vezes

Veja que $\overline{BH}=\frac{\overline{AB}-\overline{DC}}{2}=\frac{B-b}{2}$

Como o $\Delta BHC$ é retângulo isósceles temos que $\overline {CH}=\overline{BH}$
$h=\frac{B-b}{2}$ .

Também veja que:
$\overline{AH}=\overline{AB}-\overline{BH}=B-\frac{B-b}{2}=\frac{B+b}{2}$

Aplicando o Teorema de Pitágoras no $\DeltaAHC$ :
$\left(\overline{AC}\right)^2=\left(\overline{AH}\right)^2+\left(\overline{CH}\right)^2$
$\left(10\sqrt3\right)^2=\left(\frac{B+b}{2}\right)^2+\left(\frac{B-b}{2}\right)^2$
$300=\frac{B^2+2Bb+b^2}{4}+\frac{B^2-2Bb+b^2}{4}$
$1200=2B^2+2b^2$
$B^2+b^2=600$ (I)

Por outro lado, a área do trapézio é dada por:
$A=\left(\frac{B+b}{2}\right)\cdot h$
$100=\left(\frac{B+b}{2}\right)\cdot \left(\frac{B-b}{2}\right)\cdot$
$B^2-b^2=400$ (II)

Temos o sistema constituído por I e II:
$\begin{cases} B^2+b^2=600 \\ B^2-b^2=400 \end{cases}$

Somando membro a membro as duas equações: $2B^2=1000$
$B^2=500$
$B=10 \sqrt 5 \ m$

$b^2=600-B^2$
$b^2=600-500$
$b = 10 \ m$

Então: $\frac{B-b}{2}=\frac{10\sqrt 5-10}{2}=(5\sqrt5 -5) =5 \cdot (\sqrt5-1)\ m$

No $\Delta BHC$ :
$\cos 45^0=\frac{\frac{B-b}{2}}{\ell}$
$\ell=\frac{B-b}{2 \cdot \cos 45^o}=\frac{5 \cdot (\sqrt5-1)}{\frac{\sqrt2}{2}}=5 \cdot (\sqrt{10}-\sqrt2)} \ m$

Espero ter ajudado!

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