Pré-Vestibular(Fuvest, adaptada) Números complexos Tópico resolvido

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

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mnicolau
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Dez 2014 28 12:08

(Fuvest, adaptada) Números complexos

Mensagem não lida por mnicolau »

No item abaixo, z denota um número complexo z=a+bi, com a e b reais e i a unidade imaginária ([tex3]i^{2}=-1[/tex3] ). Suponha z [tex3]\neq[/tex3] i.

Determine uma relação entre a e b para os quais [tex3]\frac{z+i}{1+iz}[/tex3] é um número real.


Resposta:[tex3]a^{2}+b^{2}=1[/tex3]


Dúvida: como obter a relação?

Última edição: mnicolau (Dom 28 Dez, 2014 12:08). Total de 1 vez.



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LucasPinafi
5 - Mestre
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Dez 2014 28 12:57

Re: (Fuvest, adaptada) Números complexos

Mensagem não lida por LucasPinafi »

\frac{z+i}{1+iz} \Rightarrow \frac{a+bi+i}{1+i(a+bi)}=\frac{a+i(b+1)}{(1-b)+ai}
=\frac{[(a+i(b+1)][(1-b)-ai]}{(1-b)^2+a^2}=\frac{a(1-b)+i(1+b)(1-b)-a^2i+a(b+1)}{(1-b)^2+a^2}
=\frac{a(1-b)+i(1-b^2-a^2)+a(b+1)}{(1-b)^2+a^2}
Então:
1-b^2-a^2=0 \Rightarrow 1=b^2+a^2

Última edição: LucasPinafi (Dom 28 Dez, 2014 12:57). Total de 1 vez.


Ser ̶m̶e̶l̶h̶o̶r̶ pior a cada dia

Auto Excluído (ID:12031)
6 - Doutor
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Dez 2014 28 13:01

Re: (Fuvest, adaptada) Números complexos

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

\frac{z+i}{1+iz} = \frac{z+i}{1+iz}\frac{1-i\bar{z}}{1-i\bar{z}} = \frac{(1-i\bar{z})(z+i)}{|1+iz|^2}
a parte debaixo já é um número real. Basta a parte de cima também ser.

\frac{(1-i\bar{z})(z+i)}{|1+iz|^2} =  \frac{(z+i) - i\bar{z}(z+i)}{|1+iz|^2}
(z+i) - i\bar{z}(z+i) = z+i -i|z|^2 + \bar{z} = z + \bar{z} + i(1-|z|^2)

sabemos que z + \bar{z} é real logo pra esse número acima ser real basta sua parte imaginária ser zero:

1 - |z|^2 = 0 \rightarrow  |z|^2 = 1 \rightarrow  a^2 + b^2 = 1

Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Dom 28 Dez, 2014 13:01). Total de 1 vez.



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