Pré-Vestibular(UNICAMP) Sistemas Lineares Tópico resolvido

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

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BryanGonzalez
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Nov 2014 07 09:33

(UNICAMP) Sistemas Lineares

Mensagem não lida por BryanGonzalez »

Encontre o valor de [tex3]\alpha[/tex3] para que o Sistema:

[tex3]\begin{cases}
2x-y+3z=\alpha \\
x+2y-z=3 \\
7x+4y+3z=13
\end{cases}[/tex3]
Seja possível. para o valor encontrado de [tex3]\alpha[/tex3] , ache a solução geral do sistema, isto é, ache as expressões que representem todas as soluções do sistema. Explicite duas dessas soluções.

Por favor, resolver passo á passo esse exercício, pois tentei deveras vezes e falhei.
Resposta

[tex3]S=[(x,y,z)=(\frac{7-5\alpha }{5}, \frac{4+5\alpha }{5},\alpha ),\alpha \in \mathbb{R}][/tex3]

Última edição: BryanGonzalez (Sex 07 Nov, 2014 09:33). Total de 2 vezes.



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PedroCunha
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Nov 2014 07 14:47

Re: (UNICAMP) Sistemas Lineares

Mensagem não lida por PedroCunha »

Olá, Bryan.

Chamemos a primeira equação de I, a segunda de II e a terceira de III.

Façamos agora as seguintes operações:

I - 2II:

(2x-y+3z) - (2x+4y-2z) = \alpha - 6 \therefore  - 5y + 5z = \alpha - 6 \therefore -y + z = \frac{\alpha - 6}{5}

7II - III:

(7x+14y-7z) - (7z+4y+3z) = 21-13 \therefore 10y - 10z = 8 \therefore y - z = \frac{4}{5}

Montando um novo sistema com as variáveis y e z :

\begin{cases}

-y+z = \frac{\alpha-6}{5} \\
y-z =  \frac{4}{5}

\end{cases} \rightarrow -y+z + y - z = \frac{\alpha-6+4}{5} \therefore \alpha = 2

Para o sistema ter mais de uma solução, é necessário que ele seja possível e indeterminado. Substituindo o valor de \alpha, vamos encontrar a forma geral das infinitas soluções e além disso, mostrar duas delas:

\begin{cases}

2x-y+3z = 2 \dots I \\
x+2y-z = 3 \dots II \\
7x+4y+3z = 13 \dots III

\end{cases}

\\\\

I - 2II: \\  (2x-y+3z) - (2x+4y+2z) = 4-6 \therefore-5y+5z = -2 \therefore y-z = \frac{4}{5} \rightarrow y = \frac{4+5z}{5} \\\\
I - III: \\ (2x-y+3z) - (7x+4y+3z) = 2-13 \therefore-5x-5y = -11 \therefore x+y = \frac{11}{5} \therefore \\ x = \frac{11-5y}{5} \therefore x = \frac{11 - 5 \cdot \frac{4+5z}{5}}{5} \rightarrow x = \frac{7-5z}{5}

Logo, a solução geral do sistema é:

S = \left\{ (x,y,z) = \left( \frac{7-5z}{5}, \frac{4+5z}{5}, z \right), z \in \mathbb{R} \right\}

Fazendo z = 1 e z = 2, temos as seguintes triplas de soluções:

S_1:  (x,y,z) = \left( \frac{2}{5}, \frac{9}{5}, 1 \right), S_2: (x,y,z) = \left( -\frac{3}{5}, \frac{14}{5}, 2 \right)

O fato de aparecer \alpha no gabarito no gabarito foi apenas para confundir o aluno.

Att.,
Pedro

Última edição: PedroCunha (Sex 07 Nov, 2014 14:47). Total de 1 vez.


"Por céus e mares eu andei, vi um poeta e vi um rei, na esperança de saber o que é o amor..."

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