Pré-Vestibular(UFPA) Geometria Espacial

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

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jeangonca12
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(UFPA) Geometria Espacial

Mensagem não lida por jeangonca12 »

Sobre uma das faces de um cubo de [tex3]\sqrt{3}[/tex3] m de aresta é acoplada uma pirâmide quadrangular regular de [tex3]\sqrt{3}[/tex3] m de altura. A área total do sólido assim formado é em m²:

a) 6(3 + [tex3]\sqrt{5}[/tex3] )
b) 24
c) 3(5 + [tex3]\sqrt{5}[/tex3] )
d) 21
e) 3(7 + [tex3]\sqrt{5}[/tex3] )

Última edição: jeangonca12 (Dom 14 Set, 2014 18:22). Total de 1 vez.



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VALDECIRTOZZI
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Set 2014 15 08:25

Re: (UFPA) Geometria Espacial

Mensagem não lida por VALDECIRTOZZI »

Veja, a pirâmide sobre a face do cubo é um triângulo isósceles. A altura desse triângulo \overline{AC} é o apótema da pirâmide que forma um triângulo retângulo com catetos sendo um deles metade do lado do cubo \overline{AB} o outro a altura da pirâmide \overline{BC}.
Observe:
apótema da pirâmide.jpg
apótema da pirâmide.jpg (8.99 KiB) Exibido 1246 vezes
Aplicando o Teorema de Pitágoras:
\left(\overline{AC}\right)^2=\left(\overline{AB}\right)^2+\left(\overline{BC}\right)^2
\left(\overline{AC}\right)^2=\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\sqrt3\right)^2
\left(\overline{AC}\right)^2=\frac{3}{4}+3=\frac{15}{4}
\overline{AC}=\frac{\sqrt{15}}{2}\ m

A área da face A_{face \ da \ piramide}desse triângulo será dada metade do produto do apótema da base pela aresta do cubo.
A_{face \ da \ piramide}=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{15}}{2}\cdot \sqrt3=\frac{3 \cdot \sqrt5}{4}\  m^2

A área total dessa pirâmide será: 4 \times \frac{3 \cdot \sqrt5}{4}\  m^2=3\sqrt5 \ m^2

Espero ter ajudado!

A área total do cubo será: 5 \times \left(\sqrt3\right)^2=15 \ m^2

A área total do sólido, será a soma da área da pirâmide com área do cubo.
A_{solido}=3\sqrt5+15=3\cdot \left(\sqrt5+5\right) \ m^2

Última edição: VALDECIRTOZZI (Seg 15 Set, 2014 08:25). Total de 1 vez.


So many problems, so little time!

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