Pré-Vestibular

jeangonca12

Sobre uma das faces de um cubo de [tex3]\sqrt{3}[/tex3] m de aresta é acoplada uma pirâmide quadrangular regular de [tex3]\sqrt{3}[/tex3] m de altura. A área total do sólido assim formado é em m²:

a) 6(3 + [tex3]\sqrt{5}[/tex3] )
b) 24
c) 3(5 + [tex3]\sqrt{5}[/tex3] )
d) 21
e) 3(7 + [tex3]\sqrt{5}[/tex3] )

Veja, a pirâmide sobre a face do cubo é um triângulo isósceles. A altura desse triângulo $\overline{AC}$ é o apótema da pirâmide que forma um triângulo retângulo com catetos sendo um deles metade do lado do cubo $\overline{AB}$ o outro a altura da pirâmide $\overline{BC}$ .
Observe:

: apótema da pirâmide.jpg (8.99 KiB) Exibido 1264 vezes

Aplicando o Teorema de Pitágoras:
$\left(\overline{AC}\right)^2=\left(\overline{AB}\right)^2+\left(\overline{BC}\right)^2$
$\left(\overline{AC}\right)^2=\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\sqrt3\right)^2$
$\left(\overline{AC}\right)^2=\frac{3}{4}+3=\frac{15}{4}$
$\overline{AC}=\frac{\sqrt{15}}{2}\ m$

A área da face $A_{face \ da \ piramide}$ desse triângulo será dada metade do produto do apótema da base pela aresta do cubo.
$A_{face \ da \ piramide}=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{15}}{2}\cdot \sqrt3=\frac{3 \cdot \sqrt5}{4}\ m^2$

A área total dessa pirâmide será: $4 \times \frac{3 \cdot \sqrt5}{4}\ m^2=3\sqrt5 \ m^2$

Espero ter ajudado!

A área total do cubo será: $5 \times \left(\sqrt3\right)^2=15 \ m^2$

A área total do sólido, será a soma da área da pirâmide com área do cubo.
$A_{solido}=3\sqrt5+15=3\cdot \left(\sqrt5+5\right) \ m^2$

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