Pré-Vestibular ⇒ (UFV) Semelhança de Triângulos Tópico resolvido

[romvianna]

A figura abaixo ilustra três prédios I, II e III situados em uma mesma avenida retilínea. Rafael, no topo do prédio II, observa sob uma mesma linha de visada o topo do prédio I e a base do III e, de maneira análoga, o topo do prédio III e a base do I.

c2a23f140e0e49c55b59412368221a6f.jpg (35.25 KiB) Exibido 3047 vezes

Sabendo-se que as alturas dos prédios I e III têm, respectivamente, 30 m e 60 m e que Rafael tem 1,70 m de altura, é CORRETO afirmar que a medida, em metros, que mais se aproxima da altura do prédio II é:

a) 18,30
b) 21,30
c) 20,30
d) 19,30
e) 17,30

[roberto]

Resolvi um problema parecido com esse: http://www.tutorbrasil.com.br/forum/mat ... ura#p87023

[Thadeu]

Chamando a distância entre I e II de x e a distância entre II e III de y, e a altura do prédio II somado com a altura de Rafael de h, teremos os triângulos semelhantes:
No triângulo menor:

[tex3]\frac{x+y}{30}=\,\frac{y}{h}\,\Rightarrow x+y=\frac{30y}{h}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x+y}{30}=\,\frac{y}{h}\,\Rightarrow x+y=\frac{30y}{h}[/tex3]

No triângulo maior:

[tex3]\frac{x+y}{60}=\,\frac{x}{h}\,\Rightarrow x+y=\frac{60x}{h}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x+y}{60}=\,\frac{x}{h}\,\Rightarrow x+y=\frac{60x}{h}[/tex3]

Com isso podemos fazer a igualdade:

[tex3]\frac{30y}{h}=\frac{60x}{h}\,\Rightarrow y=2x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{30y}{h}=\frac{60x}{h}\,\Rightarrow y=2x[/tex3]

Com isso, podemos usar qualquer uma das duas igualdades (triângulo maior ou menor). Vou usar a do triângulo menor e substituir y por 2x:

[tex3]\frac{x+y}{30}=\,\frac{y}{h}\,\Rightarrow \frac{x+2x}{30}=\frac{2x}{h}\,\Rightarrow\frac{3x}{30}=\frac{2x}{h}\,\Rightarrow\,h=20m[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x+y}{30}=\,\frac{y}{h}\,\Rightarrow \frac{x+2x}{30}=\frac{2x}{h}\,\Rightarrow\frac{3x}{30}=\frac{2x}{h}\,\Rightarrow\,h=20m[/tex3]

Mas h é a altura do prédio + a altura do Rafael, então, para encontrar a altura apenas do prédio, temos que subtrair de h a altura do Rafael.... Logo :

Altura do prédio = 20 - 1,70 = 18,30 m

[romvianna]

Thadeu, uma dúvida... como confirmou a semelhança do grande com o pequeno?
Vi um angulo igual (90º) mas os outros dois, como pensou para concluir que são iguais?
Obrigado

[Thadeu]

bbb.jpg (7.67 KiB) Exibido 3020 vezes

Nos triângulos ABC e EFG, o ângulo C é comum aos dois triângulos e os ângulos B e F são retos... Logo o ângulo A e o ângulo E são iguais.... Com isso posso afirmar que os dois triângulos são semelhantes

[romvianna]

vlw amigo

obrigado