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Mensagem não lidapor **cava107** » Dom 27 Abr, 2014 11:26

Escreva na forma a + bi, o produto dos três números complexos:

[tex3]Z_1 = 2(cos40+isen40)[/tex3]
[tex3]Z_2 = 3(cos135+isen135)[/tex3]
[tex3]Z_3 = 1(cos125+isen125)[/tex3]

A resposta é [tex3]3-3\sqrt3i[/tex3]

Minha ideia foi transformar tudo primeiro na forma a + bi e em seguida fazer a operação distributiva.
Transformando tudo, cheguei em:
[tex3]Z_1 = 2cos40+2isen40[/tex3]
[tex3]Z_2 = \frac{-3\sqrt2}{2} +\frac{3\sqrt2}{2} i[/tex3]
[tex3]Z_3 = cos125+isen125[/tex3]

Fiz a distributiva dos 3 acima, e cheguei em [tex3]cos125+sen125i = 0[/tex3]

Não sei mais o que fazer, podem me ajudar?

Olá, Cava.

Farei diferente. Vou trabalhar com a forma trigonométrica.

Sejam $z_a$ e $z_a$ dois números complexos quaisquer tais que $z_a = \rho_a \cdot [\cos \alpha + i \cdot \sin \alpha]$ e $z_b =\rho_b \cdot [\cos \theta + i \cdot \sin \theta]$ . A multiplicação deles é feita da seguinte maneira:

$z_a \cdot z_b = \rho_a \cdot \rho_b \cdot [ \cos (\alpha + \theta) + i \cdot \sin (\alpha + \theta) ]$

Aplicando a mesma ideia ao exercício:

$z_1 \cdot z_2 \cdot z_3 = (z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 \\\\ \circ z_1 \cdot z_2 = 2 \cdot 3 \cdot (\cos (40^{\circ} + 135^{\circ}) + i \cdot \sin (40^{\circ}+135^{\circ})) \therefore \\ \\z_1 \cdot z_2 = 6 \cdot (\cos 175^{\circ} + i \cdot \sin 175^{\circ}) \\\\ \star (z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 = 6 \cdot 1 \cdot (\cos (175^{\circ} + 125^{\circ}) + i \cdot \sin (175^{\circ} + 125^{\circ}) ) \therefore \\\\ z_1 \cdot z_2 \cdot z_3 = 6 \cdot (\cos 300^{\circ} + i \cdot \sin 300^{\circ})$

Agora, resta passar para a forma algébrica. Note que:

$\cos 300^{\circ} = \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} \text{ e } \sin 300^{\circ} = -\sin 60^{\circ} = -\frac{\sqrt3}{2}$

Logo, $z_1 \cdot z_2 \cdot z_3 = 3 - 3\sqrt3 \cdot i$ .

Qualquer dúvida é só falar.

Att.,
Pedro

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