Qual o número de diagonais das faces e das bases de um prisma de [tex3]2n[/tex3]
a) [tex3]n(n-3)[/tex3]
b) [tex3]n(n+3)[/tex3]
c) [tex3]n(n+2)[/tex3]
d) [tex3]n(n-1)[/tex3]
vértices? Ensino Médio ⇒ Análise Combinatória e Geometria Espacial Tópico resolvido
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Análise Combinatória e Geometria Espacial
Última edição: caju (Qui 31 Mai, 2018 16:23). Total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3
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00:57
Re: Análise Combinatória e Geometria Espacial
Olá Paulo,
Pela simetria de um prisma podemos concluir que, se ele tem [tex3]2n[/tex3] vértices, [tex3]n[/tex3] deles serão na base e [tex3]n[/tex3] deles no topo. Ou seja, a base do prisma é um polígono de [tex3]n[/tex3] lados e a lateral do prisma possui [tex3]n[/tex3] retângulos.
A quantidade de diagonais na base serão: [tex3]C_n^2-n[/tex3] , mas como também temos o topo, contabilizamos duas vezes este valor.
Cada retângulo lateral irá contribuir com mais 2 diagonais, como temos [tex3]n[/tex3] retângulo, a lateral irá produzir [tex3]2n[/tex3] diagonais.
Somatório final: [tex3]2\cdot(C_n^2-n)+2n[/tex3]
[tex3]\frac{2\cdot n!}{2!(n-2)!}-2\cdot n+2n[/tex3]
[tex3]\frac{2n(n-1)(n-2)!}{2(n-2)!}[/tex3]
[tex3]n(n-1)[/tex3]
Atenciosamente
Prof. Caju
WebMaster TutorBrasil.com.br
Pela simetria de um prisma podemos concluir que, se ele tem [tex3]2n[/tex3] vértices, [tex3]n[/tex3] deles serão na base e [tex3]n[/tex3] deles no topo. Ou seja, a base do prisma é um polígono de [tex3]n[/tex3] lados e a lateral do prisma possui [tex3]n[/tex3] retângulos.
A quantidade de diagonais na base serão: [tex3]C_n^2-n[/tex3] , mas como também temos o topo, contabilizamos duas vezes este valor.
Cada retângulo lateral irá contribuir com mais 2 diagonais, como temos [tex3]n[/tex3] retângulo, a lateral irá produzir [tex3]2n[/tex3] diagonais.
Somatório final: [tex3]2\cdot(C_n^2-n)+2n[/tex3]
[tex3]\frac{2\cdot n!}{2!(n-2)!}-2\cdot n+2n[/tex3]
[tex3]\frac{2n(n-1)(n-2)!}{2(n-2)!}[/tex3]
[tex3]n(n-1)[/tex3]
Atenciosamente
Prof. Caju
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Última edição: caju (Qua 15 Nov, 2006 00:57). Total de 1 vez.
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