Pré-Vestibular

Mensagem não lidapor **emanuel9393** » 30 Nov 2012, 14:22 · 30 Nov 2012, 14:22

É dada a equação:
$\left(2 \cos^{2} \alpha\right) x^{2} \, - \, \left(4 \cos \alpha\right) x \, + \, \left(4 \cos^{2} \alpha \, - \, 1\right) \, = \, 0$
Sendo $0 \, \leq \, \alpha \, \leq \, \pi$ .
a) Para que valores de $\alpha$ a equação tem soluções reais?
b) Para que valores de $\alpha$ a equação admite raízes reais negativas?

Resposta

a) $\{ \alpha \, \in \, \mathbb{R} \, | \, \,\,\frac{\pi}{6} \, \leq \, \alpha \, \leq \, \frac{5 \pi}{6}\}$
b) $\{ \alpha \, \in \, \mathbb{R} \, | \, \,\,\frac{2\pi}{3} \, < \, \alpha \, \leq \, \frac{5 \pi}{6}\}$

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Olá, Pessoal!

A minha dúvida é justamente sobre a letra b). Quem quiser se divertir com a letra a), fique a vontade!

Um abraço!

Mensagem não lidapor **Vinícius** » 30 Nov 2012, 15:30 · Mensagem não lida por **Vinícius** » 30 Nov 2012, 15:30

a)

Para ter soluções reais: discriminante não-negativo.

$16\cos^2\alpha-8\cos^2\alpha\cdot\left(4\cos^2\alpha-1\right)\geq 0$

$8\cos^2\alpha\cdot\left(2-4\cos^2\alpha+1\right)$

Como $\cos^2\alpha>0$ (pois o valor nulo transformaria a equação original em uma falsa igualdade):

$-4\cos^2\alpha+3\geq 0$

$\cos^2\alpha\leq \frac{3}{4}$

$-\frac{\sqrt3}{2}\leq \cos\alpha\leq \frac{\sqrt3}{2}$

$\left\{\alpha\in\mathbb{R}\,\middle|\,\frac{\pi}{6}\leq\alpha<\frac{\pi}{2}\text{ ou }\frac{\pi}{2}<\alpha\leq\frac{5\pi}{6}\right\}$

O gabarito está errado, uma vez que incluiu $\frac{\pi}{2}$ .

b)

Para ter as duas soluções negativas, $x_1+x_2<0$ e $x_1x_2>0$ .

$\frac{4\cos\alpha}{2\cos^2\alpha}<0\text{ e }\frac{4\cos^2\alpha-1}{2\cos^2\alpha}>0$

$4\cos\alpha<0\text{ e }4\cos^2\alpha-1>0$

$\cos\alpha<0\text{ e }\left(\cos\alpha<-\frac{1}{2}\text{ ou }\cos\alpha>\frac{1}{2}\right)$

$\cos\alpha<-\frac{1}{2}$

Mas, do item (a):

$-\frac{\sqrt3}{2}\leq \cos\alpha\leq \frac{\sqrt3}{2}$

Então:

$-\frac{\sqrt3}{2}\leq \cos\alpha< -\frac{1}{2}$

$\left\{\alpha\in\mathbb{R}\,\middle|\,\frac{2\pi}{3}<\alpha\leq\frac{5\pi}{6}\right\}$

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