Olimpíadas

Seja P um ponto interior a um triângulo equilátero tal que as distâncias de P aos vértices do triângulo são iguais a $3,4,5$ . Encontre a área do triângulo.

Encontrei na internet um tal de Teorema de Prithwijit De. Com esse teorema é possível achar o lado de um triângulo $(L)$ equilátero a partir das distâncias de um ponto qualquer $(a,b,c)$ aos vértices do triângulo.

$\boxed{3(a^4+b^4+c^4+L^4)=(a^2+b^2+c^2+L^2)^2}$

Segue demonstração (em inglês): Teorema de Prithwijit De

Vamos resolver:

$3(3^4+4^4+5^4+L^4)=(3^2+4^2+5^2+L^2)^2$
$3(81+256+625+L^2)=(9+14+25+L^2)^2$
$3(962+L^4)+(50+L^2)^2$
$2886+3L^4+=2500+100L^2+L^4$

$2L^4-100L^2+386=0$
$L^4-50L^2+193=0$

$\Delta = 2500-772=1728 \Rightarrow \sqrt{1728}=24\sqrt{3}$

$L^2 = \frac{50\pm 24\sqrt{3}}{2}$
$L^2 = 25+12\sqrt{3}$ pois $L>0$ e $L>a,b,c$ .

A área de um triângulo equilátero é dada por:
$A=\frac{L^2 \sqrt{3}}{4}$

Logo,
$A=\frac{(25+12\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}}{4}$
$\boxed{A=\frac{25 \sqrt{3}+36}{4}\,\text{u.a.}}$ ou $\boxed{A\approx 19,82\,\text{u.a.}}$

Abraço.

Mensagem não lidapor **ALDRIN** » 13 Abr 2012, 19:37 · Mensagem não lida por **ALDRIN** » 13 Abr 2012, 19:37

Resolução da OBMEP.

Considerando como figura inicial:

: Figura 1.jpg (14.52 KiB) Exibido 1658 vezes

Como o triângulo [tex3]\Delta ABC[/tex3] é equilátero, os seus ângulos são todos iguais a [tex3]60^\circ[/tex3] . Sobre o lado [tex3]CB[/tex3] desse triângulo, construímos um novo triângulo [tex3]\Delta CBP'[/tex3] , congruente ao triângulo [tex3]\Delta ABP[/tex3] , tal que [tex3]P\hat{A}P=P'\hat{C}B[/tex3] e [tex3]A\hat{B}P=CP\hat{B}P'[/tex3] (girando o triângulo [tex3]\Delta ABP[/tex3] no sentido horário por [tex3]60^\circ[/tex3] em torno do ponto [tex3]B[/tex3] ).

: Figura2.jpg (24.43 KiB) Exibido 1658 vezes

Note que o ângulo [tex3]P\hat{B}P'[/tex3] é congruente ao ângulo [tex3]A\hat{B}C[/tex3] , ou seja, mede [tex3]60^\circ[/tex3] . Assim, se traçarmos o segmento [tex3]PP'[/tex3] , temos que o triângulo [tex3]\Delta PBP'[/tex3] , que já é isósceles, pois [tex3]PB=BP'=4\text{ cm}[/tex3] , é de fato, equilátero e, em consequência, temos que [tex3]PP'=4\text{ cm}[/tex3] .

: Figura3.jpg (24.7 KiB) Exibido 1658 vezes

Denotando o ângulo [tex3]P\hat{P'}C[/tex3] por [tex3]a[/tex3] , aplicamos a Lei dos Cossenos ao triângulo [tex3]\Delta CPP'[/tex3] e obtemos

[tex3]5^2=3^2+4^2-2.3.4.cos a[/tex3] , ou seja, [tex3]25=25-24cos a[/tex3] .

Segue que [tex3]cos a=0[/tex3] e, portanto, [tex3]a=90^\circ[/tex3] .

Dessa forma, estabelecemos [tex3]C\hat{P'}B=a+60^\circ=90^\circ+60^\circ=150^\circ[/tex3] .

: Figura4.jpg (22.96 KiB) Exibido 1658 vezes

Agora, denotando o lado do triângulo [tex3]\Delta ABC[/tex3] por [tex3]l[/tex3] , aplicamos a Lei dos Cossenos ao triângulo [tex3]\Delta CBP'[/tex3] e obtemos

[tex3]l^2=3^2+4^2-2.3.4.cos 150^\circ=25+12\sqrt3[/tex3] .

Segue que [tex3]\sqrt{25+12\sqrt3}\text{ cm}[/tex3] é o comprimento dos lados do triângulo equilátero [tex3]\Delta ABC[/tex3] .

Agora é só calcular a área conforme a resolução do theblackmamba.

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