Olimpíadas ⇒ (OBM-2005 nível 2) Área de um Terreno Tópico resolvido

[andreluiz]

Um terreno quadrangular foi dividido em quatro lotes
menores por duas cercas retas unindo os pontos
médios dos lados do terreno. As áreas de três dos
lotes estão indicadas em metros quadrados no mapa
a seguir.

601.jpg (15.05 KiB) Exibido 6871 vezes

Qual é a área do quarto lote, representado pela região
escura no mapa?

[FilipeCaceres]

Olá andreluiz ,

Esta questão é da OBM-2005 nível 2.

Vou transcrever uma das duas soluções apresentada.

OBM-2005 Q4.PNG (16.02 KiB) Exibido 6863 vezes

Unindo os pontos médios de lados consecutivos do quadrilátero, obtemos segmentos paralelos às suas diagonais e iguais a metade delas. Portanto, o quadrilátero assim obtido é um paralelogramo. Os segmentos traçados dividem em cada um dos quatros lotes em duas partes. Todas as partes internas tem a mesma área [tex3]s[/tex3]

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[tex3]s[/tex3]

, igual a [tex3]\frac{1}{4}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{4}[/tex3]

da área do paralelogramo. Cada uma das partes externas tem área igual a [tex3]\frac{1}{4}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{4}[/tex3]

do triângulo determinado pela diagonal correspondente. Assim, [tex3]a+c[/tex3]

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[tex3]a+c[/tex3]

é igual à metade da área do quadrilátero, o mesmo ocorrre para [tex3]b+c[/tex3]

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[tex3]b+c[/tex3]

. Então, [tex3]a+s+s+c=b+s+s+d[/tex3]

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[tex3]a+s+s+c=b+s+s+d[/tex3]

Portanto, a área [tex3]S[/tex3]

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[tex3]S[/tex3]

desconhecida vale:
[tex3]S+210=250+200[/tex3]

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[tex3]S+210=250+200[/tex3]

[tex3]\boxed{S=240}[/tex3]

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[tex3]\boxed{S=240}[/tex3]

Veja outra solução disponível. OBM-2005 Q.4

Abraço.