Olimpíadas

Uma linha reta que passa pelo vértice $P$ do triângulo $\triangle PQR$ intersecta o lado $\overline{QR}$ no ponto $S$ a o circuncentro do triângulo no ponto $T$ . Se $S$ não é o circuncentro, então:

$a)\,\,\frac{1}{PS}+\frac{1}{ST}<\frac{2}{\sqrt{QS\times SR}}$
$b)\,\,\frac{1}{PS}+\frac{1}{ST}>\frac{2}{\sqrt{QS\times SR}}$
$c)\,\,\frac{1}{PS}+\frac{1}{ST}<\frac{4}{QR}$
$d)\,\,\frac{1}{PS}+\frac{1}{ST}>\frac{4}{QR}$

Resposta

b) e d)

Mensagem não lida por **Tassandro** » 15 Mai 2020, 08:20

theblackmamba,
Usando a desigualdade das médias duas vezes chegamos às duas alternativas.
Inicialmente, vamos usar Potência de ponto e M.G.>M.H. Assim,
[tex3]\mathrm{PS\cdot ST=QS\cdot SR\\
\sqrt{PS\cdot ST}>\frac{2}{\frac{1}{PS}+\frac{1}{ST}}\implies\frac{1}{PS}+\frac{1}{ST}>\frac{2}{\sqrt{PS\cdot ST}}\iff\frac{1}{PS}+\frac{1}{ST}>\frac{1}{\sqrt{QS\cdot SR}}}[/tex3]
Agora, usando M.A.>M.G.
[tex3]\mathrm{\frac{QS+SR}{2}=\frac{QR}{2}>\sqrt{QS\cdot RS}\implies\frac{1}{QR}<\frac{1}{2\sqrt{QS\cdot RS}}\implies\frac{1}{PS}+\frac{1}{ST}>\frac{4}{QR}}[/tex3]
As alternativas b e d estão corretas.

Olimpíadas ⇒ (IIT - 2008) Geometria Plana

(IIT - 2008) Geometria Plana

Re: (IIT - 2008) Geometria Plana

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