Olimpíadas ⇒ Divisibilidade
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jun 2012
09
20:20
Divisibilidade
Sejam [tex3]a[/tex3]
e [tex3]b[/tex3]
inteiros tal que [tex3]\frac{10a + b}{7}[/tex3]
é inteiro. Prove que [tex3]\frac{ {a}^{3} - {b}^{3} }{7}[/tex3]
também é inteiro.
Última edição: Gaussiano (Sáb 09 Jun, 2012 20:20). Total de 1 vez.
Mai 2014
03
10:39
Re: Divisibilidade
ola,
temos que [tex3]10a+b[/tex3] tem o mesmo resto que [tex3]\3a+b[/tex3] na divisão por 7, sendo [tex3]x[/tex3] é [tex3]y[/tex3] os restos divisão de [tex3]a[/tex3] é [tex3]b[/tex3] por [tex3]7[/tex3] respectivamente temos que:
[tex3]x=1[/tex3] ,[tex3]y=4[/tex3] logo [tex3]1^3-4^3=-63[/tex3] que é múltiplo de 7.
[tex3]x=2[/tex3] ,[tex3]y=1[/tex3] logo [tex3]2^3-1^3=7[/tex3] que é múltiplo de 7.
[tex3]x=3[/tex3] ,[tex3]y=5[/tex3] logo [tex3]3^3-5^3=-98[/tex3] que é múltiplo de 7.
[tex3]x=4[/tex3] ,[tex3]y=2[/tex3] logo [tex3]4^3-2^2=56[/tex3] que é múltiplo de 7.
[tex3]x=5[/tex3] ,[tex3]y=6[/tex3] logo [tex3]5^3-6^3=-91[/tex3] que é múltiplo de 7.
[tex3]x=6[/tex3] ,[tex3]y=3[/tex3] logo [tex3]6^3-3^3=189[/tex3] que é múltiplo de 7.
logo chegamos a conclusão que [tex3]a^3+b^3[/tex3] e divisível por 7.
temos que [tex3]10a+b[/tex3] tem o mesmo resto que [tex3]\3a+b[/tex3] na divisão por 7, sendo [tex3]x[/tex3] é [tex3]y[/tex3] os restos divisão de [tex3]a[/tex3] é [tex3]b[/tex3] por [tex3]7[/tex3] respectivamente temos que:
[tex3]x=1[/tex3] ,[tex3]y=4[/tex3] logo [tex3]1^3-4^3=-63[/tex3] que é múltiplo de 7.
[tex3]x=2[/tex3] ,[tex3]y=1[/tex3] logo [tex3]2^3-1^3=7[/tex3] que é múltiplo de 7.
[tex3]x=3[/tex3] ,[tex3]y=5[/tex3] logo [tex3]3^3-5^3=-98[/tex3] que é múltiplo de 7.
[tex3]x=4[/tex3] ,[tex3]y=2[/tex3] logo [tex3]4^3-2^2=56[/tex3] que é múltiplo de 7.
[tex3]x=5[/tex3] ,[tex3]y=6[/tex3] logo [tex3]5^3-6^3=-91[/tex3] que é múltiplo de 7.
[tex3]x=6[/tex3] ,[tex3]y=3[/tex3] logo [tex3]6^3-3^3=189[/tex3] que é múltiplo de 7.
logo chegamos a conclusão que [tex3]a^3+b^3[/tex3] e divisível por 7.
Última edição: jade (Sáb 03 Mai, 2014 10:39). Total de 1 vez.
Mai 2014
04
21:08
Re: Divisibilidade
jade escreveu:ola,
temos que [tex3]10a+b[/tex3] tem o mesmo resto que [tex3]\3a+b[/tex3] na divisão por 7, sendo [tex3]x[/tex3] é [tex3]y[/tex3] os restos divisão de [tex3]a[/tex3] é [tex3]b[/tex3] por [tex3]7[/tex3] respectivamente temos que:
[tex3]x=1[/tex3] ,[tex3]y=4[/tex3] logo [tex3]1^3-4^3=-63[/tex3] que é múltiplo de 7.
[tex3]x=2[/tex3] ,[tex3]y=1[/tex3] logo [tex3]2^3-1^3=7[/tex3] que é múltiplo de 7.
[tex3]x=3[/tex3] ,[tex3]y=5[/tex3] logo [tex3]3^3-5^3=-98[/tex3] que é múltiplo de 7.
[tex3]x=4[/tex3] ,[tex3]y=2[/tex3] logo [tex3]4^3-2^2=56[/tex3] que é múltiplo de 7.
[tex3]x=5[/tex3] ,[tex3]y=6[/tex3] logo [tex3]5^3-6^3=-91[/tex3] que é múltiplo de 7.
[tex3]x=6[/tex3] ,[tex3]y=3[/tex3] logo [tex3]6^3-3^3=189[/tex3] que é múltiplo de 7.
logo chegamos a conclusão que [tex3]a^3-b^3[/tex3] e divisível por 7.
Última edição: jade (Dom 04 Mai, 2014 21:08). Total de 1 vez.
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