IME / ITA

O número de alunos do CPCAR que se inscreveu para um desafio de matemática na EPCAR, realizado anualmente, foi, nos anos de 2009, 2010 e 2012, respectivamente igual a 5, 6 e 20. Os professores da EPCAR perceberam que o número de alunos que se inscreveu para esse desafio cresceu, de maneira que a diferença entre o número de alunos dos anos (x+2) e x é diretamente proporcional ao número de alunos do ano (x+1). Se y é o número de alunos do CPCAR que se inscreveu nesse desafio em 2011, então a soma dos divisores naturais de y é:

a) 28
b) 26
c) 24
d) 20

Resposta

Letra A

Olá

Se considerarmos [tex3]2009[/tex3] como o ano [tex3]x[/tex3] , teremos 2010 como [tex3]x+1[/tex3] e 2011 como [tex3]x+2[/tex3] :

[tex3]y-5=6k[/tex3] (i)

Agora se considerarmos [tex3]2010[/tex3] como o ano [tex3]x[/tex3] , teremos [tex3]2011[/tex3] como [tex3]x+1[/tex3] e [tex3]2012[/tex3] como [tex3]x+2[/tex3] :

[tex3]20-6=ky \rightarrow k=\frac{14}{y}[/tex3] (ii)

Colocando (ii) em (i)

[tex3]y-5=6 \frac{14}{y} \rightarrow y^2-5y-84=0[/tex3]

[tex3]y=\frac{5 \pm \sqrt{25+336}}{2}= \frac{5 \pm 19}{2}, y>0 \Leftrightarrow y=12[/tex3]

Os divisores naturais de [tex3]y[/tex3] são [tex3]1[/tex3] , [tex3]2[/tex3] , [tex3]3[/tex3] , [tex3]4[/tex3] , [tex3]6[/tex3] , [tex3]12[/tex3] .

[tex3]1+2+3+4+6+12=28[/tex3]

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