Assinale o valor aproximado do volume do sólido gerado pela revolução em torno do eixo y da região do primeiro quadrante limitada pelas curvas:
a) 2,294 u.v
b) 9,753 u.v
c) 24,381 u.v
d) 76,595 u.v
e) 145,17 u.v
e
Ensino Superior ⇒ Volume Tópico resolvido
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Jan 2018
30
01:36
Re: Volume
Observe:
Solução
Fazendo a intersecção da reta x = y³ com a reta x = 4y, temos:
y³ - 4y = 0 [tex3]\rightarrow [/tex3] y.( y² - 4 ) = 0 [tex3]\rightarrow [/tex3] y = 0 ou y = [tex3]\pm [/tex3] 2 [tex3]\rightarrow [/tex3] y = 2( primeiro quadrante ), logo os limites de integração são y = c = 0 e y = d = 2. Usando o método do disco circular, temos:
V = [tex3]π\int\limits_{c}^{d}[ (g_{1}(y) )² -
( g_{2}(y) )² ] dy [/tex3]
Onde, [tex3]g_{1}(y) = 4y[/tex3] e [tex3]g_{2}(y)
= y³ [/tex3]
V = [tex3]π\int\limits_{0}^{2}[ ( 4y )² -
( y³ )² ] dy [/tex3]
V = [tex3]π\int\limits_{0}^{2}( 16y² -
y^{6} )dy [/tex3]
V = [tex3]π.( \frac{16.2^{3}}{3}-
\frac{2^{7}}{7} )[/tex3]
V = [tex3]π.( \frac{128}{3}-
\frac{128}{7} )[/tex3]
V = [tex3]π.( \frac{896 - 384}{21} )[/tex3]
V = [tex3]\frac{512π}{21}[/tex3] = 76,595
Portanto, o volume vale 76,595u.v, alternativa d).
Esboço
Obs. Uma outra maneira de resolver esta questão, seria usando o método dos invólucros cilíndricos, basta aplicar a seguinte fórmula.
V = [tex3]2π\int\limits_{a}^{b}x.(f_{1}(x) -
f_{2}(x) )dx [/tex3]
Onde;
y³ = x [tex3]\rightarrow [/tex3] y = [tex3]f_{1}(x)[/tex3] = [tex3]\sqrt[3]{x}[/tex3]
e
4y = x [tex3]\rightarrow [/tex3] y = [tex3]f_{2}(x) = \frac{x}{4}[/tex3]
Fazendo a intersecção das retas acima, vem;
[tex3]\frac{x}{4} = \sqrt[3]{x}\rightarrow \left(\frac{x}{4}\right)^{3} = x\rightarrow [/tex3]
x³ - 64x = 0 [tex3]\rightarrow [/tex3] x.( x² - 64 ) = 0 [tex3]\rightarrow [/tex3] x = 0 ou x = [tex3]\pm [/tex3] 8 [tex3]\rightarrow [/tex3] x = 8( primeiro quadrante ).Logo os limites de integração são x = a = 0 e x = b = 8, então;
V = [tex3]2π\int\limits_{0}^{8}x.( \sqrt[3]{x} -
\frac{x}{4} )dx [/tex3]
Efetuando os cálculos acima, o valor encontrado será V = [tex3]\frac{512π}{21}u.v[/tex3] , alternativa d).
Bons estudos!
Solução
Fazendo a intersecção da reta x = y³ com a reta x = 4y, temos:
y³ - 4y = 0 [tex3]\rightarrow [/tex3] y.( y² - 4 ) = 0 [tex3]\rightarrow [/tex3] y = 0 ou y = [tex3]\pm [/tex3] 2 [tex3]\rightarrow [/tex3] y = 2( primeiro quadrante ), logo os limites de integração são y = c = 0 e y = d = 2. Usando o método do disco circular, temos:
V = [tex3]π\int\limits_{c}^{d}[ (g_{1}(y) )² -
( g_{2}(y) )² ] dy [/tex3]
Onde, [tex3]g_{1}(y) = 4y[/tex3] e [tex3]g_{2}(y)
= y³ [/tex3]
V = [tex3]π\int\limits_{0}^{2}[ ( 4y )² -
( y³ )² ] dy [/tex3]
V = [tex3]π\int\limits_{0}^{2}( 16y² -
y^{6} )dy [/tex3]
V = [tex3]π.( \frac{16.2^{3}}{3}-
\frac{2^{7}}{7} )[/tex3]
V = [tex3]π.( \frac{128}{3}-
\frac{128}{7} )[/tex3]
V = [tex3]π.( \frac{896 - 384}{21} )[/tex3]
V = [tex3]\frac{512π}{21}[/tex3] = 76,595
Portanto, o volume vale 76,595u.v, alternativa d).
Esboço
Obs. Uma outra maneira de resolver esta questão, seria usando o método dos invólucros cilíndricos, basta aplicar a seguinte fórmula.
V = [tex3]2π\int\limits_{a}^{b}x.(f_{1}(x) -
f_{2}(x) )dx [/tex3]
Onde;
y³ = x [tex3]\rightarrow [/tex3] y = [tex3]f_{1}(x)[/tex3] = [tex3]\sqrt[3]{x}[/tex3]
e
4y = x [tex3]\rightarrow [/tex3] y = [tex3]f_{2}(x) = \frac{x}{4}[/tex3]
Fazendo a intersecção das retas acima, vem;
[tex3]\frac{x}{4} = \sqrt[3]{x}\rightarrow \left(\frac{x}{4}\right)^{3} = x\rightarrow [/tex3]
x³ - 64x = 0 [tex3]\rightarrow [/tex3] x.( x² - 64 ) = 0 [tex3]\rightarrow [/tex3] x = 0 ou x = [tex3]\pm [/tex3] 8 [tex3]\rightarrow [/tex3] x = 8( primeiro quadrante ).Logo os limites de integração são x = a = 0 e x = b = 8, então;
V = [tex3]2π\int\limits_{0}^{8}x.( \sqrt[3]{x} -
\frac{x}{4} )dx [/tex3]
Efetuando os cálculos acima, o valor encontrado será V = [tex3]\frac{512π}{21}u.v[/tex3] , alternativa d).
Bons estudos!
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