1) Um fio de comprimento l é cortado em dois pedaços. Com um deles se fará um círculo e com o outro, um quadrado.
a) Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das duas áreas compreendidas pelas figuras sejam mínima ?
b) Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das áreas compreendidas seja máxima ?
RESP :
a) 1º Pedaço : 4L / 4 + 4Pi
b) 2º Pedaço : L.Pi / 4 + Pi
Estou com dificuldade nesses exercícios. Se alguém tiver uma dica agradeço.
Abraço.
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Ensino Superior ⇒ Problemas de Maximização e Minimização
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Natan
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Set 2011
22
03:28
Re: Problemas de Maximização e Minimização
Olá,
Temos um fio de comprimento [tex3]l[/tex3] que será partido em 2 pedaços para formar um círculo e um quadrado. Sabendo disto podemos escrever:
[tex3]l=2 \pi r+4a\, \Right\, a=\frac{l-2 \pi r}{4}\, (1)[/tex3]
note que [tex3]2 \pi r[/tex3] representa o perímetro do círculo de raio [tex3]r[/tex3] formado, e [tex3]4a[/tex3] por sua vez representa o perímetro do quadrado formado.
Queremos minimizar a soma das áreas do círculo e do quadrado, isto é, queremos minimizar a função:
[tex3]A=\pi r^2+a^2[/tex3] que substituindo [tex3](1)[/tex3] fica:
[tex3]A=\pi r^2+\left( \frac{l-2 \pi r}{4} \right)^2[/tex3]
os pontos críticos, no caso o mínimo, serão os pontos onde a derivada se anula, então:
[tex3]A^{'}=0\, \Right\, \frac{8 \pi^2 r-4l \pi}{16}+2 \pi r=0\, \therefore\, r=\frac{l}{8+2 \pi}[/tex3] que substituindo em [tex3](1)[/tex3] chegamos que [tex3]a=\frac{l}{4+ \pi}[/tex3]
Obs: podemos via derivada segunda verificar que esse ponto é de fato um ponto de mínimo da função em questão, mas não farei isso aki
Com isso concluímos que:
o comprimento destinado ao círculo é [tex3]2 \pi r=2 \pi .\left( \frac{l}{8+2 \pi} \right)=\frac{l \pi}{4+ \pi}[/tex3]
o comprimento destinado ao quadrado é [tex3]4a=4 \left( \frac{l}{4+ \pi} \right)[/tex3]
Como vimos a função soma das áreas possui apenas um ponto crítico, que é ponto de mínimo, logo não existe máximo! a saída aki é optar por fazer ou um círculo ou um quadrado e ver qual dos dois possui maior área, então denotando por [tex3]A_c[/tex3] a área do círculo e por [tex3]A_q[/tex3] a área do quadrado:
[tex3]A_c=\pi r^2=\pi .\frac{l^2}{4 \pi^2}=\frac{l^2}{4 \pi} \\ A_q=a^2=\frac{l^2}{16}[/tex3]
vemos então que construir um círculo produz uma maior área, logo devemos optar por usar todo o barbante para fazer somente o círculo.
Temos um fio de comprimento [tex3]l[/tex3] que será partido em 2 pedaços para formar um círculo e um quadrado. Sabendo disto podemos escrever:
[tex3]l=2 \pi r+4a\, \Right\, a=\frac{l-2 \pi r}{4}\, (1)[/tex3]
note que [tex3]2 \pi r[/tex3] representa o perímetro do círculo de raio [tex3]r[/tex3] formado, e [tex3]4a[/tex3] por sua vez representa o perímetro do quadrado formado.
Queremos minimizar a soma das áreas do círculo e do quadrado, isto é, queremos minimizar a função:
[tex3]A=\pi r^2+a^2[/tex3] que substituindo [tex3](1)[/tex3] fica:
[tex3]A=\pi r^2+\left( \frac{l-2 \pi r}{4} \right)^2[/tex3]
os pontos críticos, no caso o mínimo, serão os pontos onde a derivada se anula, então:
[tex3]A^{'}=0\, \Right\, \frac{8 \pi^2 r-4l \pi}{16}+2 \pi r=0\, \therefore\, r=\frac{l}{8+2 \pi}[/tex3] que substituindo em [tex3](1)[/tex3] chegamos que [tex3]a=\frac{l}{4+ \pi}[/tex3]
Obs: podemos via derivada segunda verificar que esse ponto é de fato um ponto de mínimo da função em questão, mas não farei isso aki
Com isso concluímos que:
o comprimento destinado ao círculo é [tex3]2 \pi r=2 \pi .\left( \frac{l}{8+2 \pi} \right)=\frac{l \pi}{4+ \pi}[/tex3]
o comprimento destinado ao quadrado é [tex3]4a=4 \left( \frac{l}{4+ \pi} \right)[/tex3]
Como vimos a função soma das áreas possui apenas um ponto crítico, que é ponto de mínimo, logo não existe máximo! a saída aki é optar por fazer ou um círculo ou um quadrado e ver qual dos dois possui maior área, então denotando por [tex3]A_c[/tex3] a área do círculo e por [tex3]A_q[/tex3] a área do quadrado:
[tex3]A_c=\pi r^2=\pi .\frac{l^2}{4 \pi^2}=\frac{l^2}{4 \pi} \\ A_q=a^2=\frac{l^2}{16}[/tex3]
vemos então que construir um círculo produz uma maior área, logo devemos optar por usar todo o barbante para fazer somente o círculo.
Editado pela última vez por Natan em 22 Set 2011, 03:28, em um total de 1 vez.
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