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Mensagem não lidapor **thayana** » 25 Jun 2016, 20:41 · Mensagem não lida por **thayana** » 25 Jun 2016, 20:41

Encontre o momento de inércia do eixo da turbina (um cilindro) em relação a direção z o sólido está delimitado pelo cilindro [tex3]x^{2} + y^{2}[/tex3] =9 e pelos planos z=2 e z=4 , sabendo que a densidade é ([tex3]x^{2} + y^{2}[/tex3] )kg/m

Mensagem não lidapor **LucasPinafi** » 26 Jun 2016, 21:36 · 26 Jun 2016, 21:36

Creio que a solução seja a seguinte. Se achar algum erro, me avise
O momento de inércia será dado pela integral:

$I= \iiint_B r^2 \ \text dm$

onde B é a região limitada pelo cilindro $x^2+y^2 = 9$ e pelos planos $z=2$ e $z=4$ . A densidade é dada por:

$dm = (x^2+y^2 ) dxdydz$

Como a distância do ponto $(x,y,z)$ até o eixo z (reta $Z=\lambda (0, 0, 1)$ ) é $r=\sqrt(x^2+y^2)$ , segue que:

$I =\iiint_B (x^2+y^2) \cdot (x^2 + y^2 ) dx dy dz = \iiint_B (x^2+y^2)^2 dxdydz$

Agora o cálculo é imediato:

$\iiint_B (x^2+y^2)^2 dxdydz = \iint_K \left[\int_2^4 (x^2+y^2) dz \right] dxdy = 2\iint_K (x^2+y^2)^2 dxdy$

Fazendo-se $\begin{cases} x= \rho \cos \theta \\ y = \rho \sin \theta \end{cases}$ , segue que:

$\left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(\rho, \theta)}\right| = \left| \begin{vmatrix} \cos \theta & -\rho \sin \theta \\ \sin \theta & \rho \cos \theta \end{vmatrix} \right| = |\rho \cos^2 \theta + \rho \sin^2 \theta | = \rho >0$

Portanto,

$\frac I 2=\iint_K (x^2+y^2)^2 dx dy = \iint_{K^*} (\rho^2 \cos^2 \theta + \rho^2 \sin^2 \theta)^2 \left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(\rho, \theta)}\right| d\theta d\rho= \iint_K \rho^5 d\rho d\theta$

$I= 2\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^3 \rho^5 d \rho =2\pi \cdot \frac{1}{6} \left \rho^6\right|_0^3 =486 \pi$

dado em kg/m².

Mensagem não lidapor **thayana** » 26 Jun 2016, 21:51 · Mensagem não lida por **thayana** » 26 Jun 2016, 21:51

Obrigado !!! está correto o gabarito da 486 [tex3]\pi[/tex3] eu estava na dúvida entre fazer só o [tex3]I_{z}[/tex3] ou fazer a soma de [tex3]I_{x} + I_{y}[/tex3]

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