Mostre que se um triangulo tem duas medianas iguais, então ele é isósceles.
Fiz um triangulo [tex3]\Delta ABC[/tex3]
nomeando os pontos no sentido anti horario sendo [tex3]\overline{AC} = \overline{CB}[/tex3]
e M o ponto medio do lado CB e N do lado AC, dai fiz que:
[tex3]||\vec{AM}|| = ||\vec{AN}||[/tex3]
[tex3]||\vec{AC} + \vec{CB}/2|| = ||\vec{CA}/2 + \vec{AB}||[/tex3]
[tex3]||\vec{AC} + \vec{AB}|| = ||\vec{CB} + \vec{AB}||[/tex3]
*[tex3]||\vec{AC} + \vec{AB} - \vec{AB}|| = ||\vec{CB} + \vec{AB} - \vec{AB}||[/tex3]
[tex3]||\vec{AC}|| = ||\vec{CB}||[/tex3]
Mas nao tenho certeza se posso fazer o que fiz na penultima linha*
Ensino Superior ⇒ GA 2 Tópico resolvido
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Cardoso1979 
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Set 2022
16
18:02
Re: GA 2
Observe
Uma solução:
Seja o triângulo ABC, M o ponto médio de [tex3]\vec{BN}[/tex3] e N o de [tex3]\vec{AC}[/tex3] . Seja também P a interseção de [tex3]\vec{BN}[/tex3] e [tex3]\vec{AM}[/tex3] , e por hipótese, temos || [tex3]\vec{BN}[/tex3] || = || [tex3]\vec{AM}[/tex3] ||. Observe que os triângulos NPM e APB são isósceles. Observe também que como [tex3]\vec{MN}[/tex3] é paralelo a [tex3]\vec{AB}[/tex3] os ângulos N [tex3]\widehat{P}[/tex3] A e M [tex3]\widehat{P}[/tex3] B são iguais. Assim, pela lei dos cossenos, temos
|| [tex3]\vec{AN}[/tex3] ||² = || [tex3]\vec{PN} -
\vec{PA}[/tex3] ||² = || [tex3]\vec{PM}- \vec{PB}[/tex3] ||² = || [tex3]\vec{BM}[/tex3] ||².
Como,
2.|| [tex3]\vec{AN}[/tex3] || = || [tex3]\vec{AC}[/tex3] || e 2.|| [tex3]\vec{BM}[/tex3] || = || [tex3]\vec{BC}[/tex3] || ,
então
|| [tex3]\vec{AN}[/tex3] || = || [tex3]\vec{BC}[/tex3] || , e portanto, o triângulo é isósceles. C.q.m.
Obs. A figura do triângulo ficará como exercício para você
Excelente estudo!
Uma solução:
Seja o triângulo ABC, M o ponto médio de [tex3]\vec{BN}[/tex3] e N o de [tex3]\vec{AC}[/tex3] . Seja também P a interseção de [tex3]\vec{BN}[/tex3] e [tex3]\vec{AM}[/tex3] , e por hipótese, temos || [tex3]\vec{BN}[/tex3] || = || [tex3]\vec{AM}[/tex3] ||. Observe que os triângulos NPM e APB são isósceles. Observe também que como [tex3]\vec{MN}[/tex3] é paralelo a [tex3]\vec{AB}[/tex3] os ângulos N [tex3]\widehat{P}[/tex3] A e M [tex3]\widehat{P}[/tex3] B são iguais. Assim, pela lei dos cossenos, temos
|| [tex3]\vec{AN}[/tex3] ||² = || [tex3]\vec{PN} -
\vec{PA}[/tex3] ||² = || [tex3]\vec{PM}- \vec{PB}[/tex3] ||² = || [tex3]\vec{BM}[/tex3] ||².
Como,
2.|| [tex3]\vec{AN}[/tex3] || = || [tex3]\vec{AC}[/tex3] || e 2.|| [tex3]\vec{BM}[/tex3] || = || [tex3]\vec{BC}[/tex3] || ,
então
|| [tex3]\vec{AN}[/tex3] || = || [tex3]\vec{BC}[/tex3] || , e portanto, o triângulo é isósceles. C.q.m.
Obs. A figura do triângulo ficará como exercício para você
Excelente estudo!