Ensino Superior

Se mdc(a,c) = 1 então mdc(a, bc) = mdc(a,b)

Preciso provar que isso é verdade.

$ax + cy =1$

$ak + bz = (a,b)$

$a(ck) + bc(z) = (a,b)c$

$a(cky) + bc(zy) = (a,b)(1 - ax)$

$a(cky + x(a,b)) + bc(zy) = (a,b)$

isso significa que $(a,b)$ é múltiplo de $(a,bc)$

pela fatoração em primos é fácil ver que $(a,bc) \geq (a,b)$ então o fator de multiplicidade deve ser $1$

OBS: minha prova não funcionaria se $(a,c) = d > 1$ por conta desse argumento final.
Se $d(a,b)$ fosse múltiplo de $(a,bc)$ o fato de $(a,bc) \geq (a,b)$ não restringiria a $(a,bc) = (a,b)$

sousóeu escreveu: $ax + cy =1$

Código: Selecionar tudo

[tex3]ax + cy =1[/tex3]

$ak + bz = (a,b)$

Código: Selecionar tudo

[tex3]ak + bz = (a,b)[/tex3]

$a(ck) + bc(z) = (a,b)c$

Código: Selecionar tudo

[tex3]a(ck) + bc(z) = (a,b)c[/tex3]

$a(cky) + bc(zy) = (a,b)(1 - ax)$

Código: Selecionar tudo

[tex3]a(cky) + bc(zy) = (a,b)(1 - ax)[/tex3]

$a(cky + x(a,b)) + bc(zy) = (a,b)$

Código: Selecionar tudo

[tex3]a(cky + x(a,b)) + bc(zy) = (a,b)[/tex3]

isso significa que $(a,b)$

Código: Selecionar tudo

[tex3](a,b)[/tex3]

é múltiplo de $(a,bc)$

Código: Selecionar tudo

[tex3](a,bc)[/tex3]

pela fatoração em primos é fácil ver que $(a,bc) \geq (a,b)$

Código: Selecionar tudo

[tex3](a,bc) \geq (a,b)[/tex3]

então o fator de multiplicidade deve ser $1$

Código: Selecionar tudo

[tex3]1[/tex3]

OBS: minha prova não funcionaria se $(a,c) = d > 1$

Código: Selecionar tudo

[tex3](a,c) = d > 1[/tex3]

por conta desse argumento final.
Se $d(a,b)$

Código: Selecionar tudo

[tex3]d(a,b)[/tex3]

fosse múltiplo de $(a,bc)$

Código: Selecionar tudo

[tex3](a,bc)[/tex3]

o fato de $(a,bc) \geq (a,b)$

Código: Selecionar tudo

[tex3](a,bc) \geq (a,b)[/tex3]

não restringiria a $(a,bc) = (a,b)$

Código: Selecionar tudo

[tex3](a,bc) = (a,b)[/tex3]

Entendi.
Tenho essa definição no meu livro, mas não consegui enxergar isso.
Muito, muito obrigado!

Ensino Superior ⇒ Divisibilidade Tópico resolvido

Divisibilidade

Re: Divisibilidade

Re: Divisibilidade

Re: Divisibilidade

Re: Divisibilidade

Ensino Superior ⇒ Divisibilidade Tópico resolvido

Divisibilidade

Re: Divisibilidade

Re: Divisibilidade

Re: Divisibilidade

Re: Divisibilidade

Entrar • Registrar