Ensino Médio

É dada a equação $(2\,\cos^2 a)\,x^2-(4\cos a)\,x+(4\cos^2 a -1)=0$ , sendo $0\leq a \leq \pi$ . Para que valores de $a$ a equação admite raízes reais negativas?

Resposta

$S=\left\{\,a\,\in\,\mathbb{R}\,\,|\,\,\frac{2\pi}{3}\leq a\leq \frac{5\pi}{6}\,\right\}$

Obrigado pela atenção.

Olá Jrneliodias,

Primeiramente devemos ter $\Delta\geq0$ :

$(-4cosa)^2-4(2cos^2a)(4cos^2a-1)\geq0\\\\-\frac{\sqrt{3}}{2}\leq cosa\leq \frac{\sqrt{3}}{2}\,\,(i)$

Devemos ter também a soma negativa e o produto das raízes maior ou igual a zero:

$\frac{-b}{a}<0\\\\\frac{4cosa}{2cos^2a}<0\\\\cosa<0\,\,(ii)$

$\frac{c}{a}\geq 0\\\\\frac{4cos^2a-1}{2cos^2a}\geq 0\\\\cosa\geq \frac{1}{2}\,\,ou\,\,cosa\leq-\frac{1}{2}(iii)$

Intersecção $(i),\,\,(ii)\,\,e\,\,(iii)$ :

$-\frac{\sqrt{3}}{2}\leq cosa \leq-\frac{1}{2}\\\\\boxed{\frac{2\pi}{3}\leq a\leq \frac{5\pi}{6}}$

Abraços.

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