Ensino Médio

Sendo [tex3]A=\underbrace{5555\cdot \cdot \cdot 5}_{2007 \,\text{cincos}} \times \underbrace{2222\cdot \cdot \cdot 2}_{2007\,\text{dois}}[/tex3] , calcule a soma dos algarismos de [tex3]9\times A[/tex3] . Não esqueça de justificar a sua resposta.

Resposta

18063

Mensagem não lidapor **Cássio** » Sex 09 Mar, 2012 21:18

Olá Theblackmamba!

Temos que:

$9A=9\cdot \underbrace{555...55}_{2007}\times \ \underbrace{222...22}_{2007 \ cincos} = 9\cdot 2\cdot 5\cdot \underbrace{111...11^2}_{2007}=$

$9\cdot10\cdot \left(\dfrac{10^{2007}-1}{9}\right)^2=10\cdot \dfrac{(10^{2007}-1)^2}{9}=$

$10\cdot\left(\dfrac{10^{4014}-2\cdot10^{2007}+1}{9}\right)=10\cdot\dfrac{(10^{2007}\cdot(10^{2007}-2)+1)}{9}=$

$10\cdot\dfrac{(10^{2007}(\underbrace{9999...998}_{2007}+1))}{9}=10\cdot\dfrac{\left(10^{2007}\cdot(\underbrace{9999...998}_{2007}+1)\right)}{9}=$

$10\cdot\dfrac{10^{2007}\cdot(\underbrace{999...99}_{2007})}{9}=10^{2008}\cdot\underbrace{111...11}_{2007}$

$9A=10^{2008}\cdot\underbrace{111...11}_{2007}=\underbrace{111...11}_{2007}\underbrace{000...00}_{2008}.$

Onde fica claro que a soma de $9A$ é $2007.$

Resposta

Theblackmamba, nossas respostas não bateram... Se encontrar algum erro é só avisar.

$10\cdot\left(\dfrac{10^{4014}-2\cdot10^{2007}+1}{9}\right)=10\cdot\dfrac{(10^{2007}\cdot(10^{2007}-2)+1)}{9}=$

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[tex3]10\cdot\left(\dfrac{10^{4014}-2\cdot10^{2007}+1}{9}\right)=10\cdot\dfrac{(10^{2007}\cdot(10^{2007}-2)+1)}{9}=[/tex3]

$10\cdot\dfrac{(10^{2007}(\underbrace{9999...998}_{2007}+1))}{9}=10\cdot\dfrac{\left(10^{2007}\cdot(\underbrace{9999...998}_{2007}+1)\right)}{9}=$

Código: Selecionar tudo

[tex3]10\cdot\dfrac{(10^{2007}(\underbrace{9999...998}_{2007}+1))}{9}=10\cdot\dfrac{\left(10^{2007}\cdot(\underbrace{9999...998}_{2007}+1)\right)}{9}=[/tex3]

$10\cdot\dfrac{10^{2007}\cdot(\underbrace{999...99}_{2007})}{9}$

Código: Selecionar tudo

[tex3]10\cdot\dfrac{10^{2007}\cdot(\underbrace{999...99}_{2007})}{9}[/tex3]

Olá Cassio, neste trecho você acabou somando o número 1 que estava fora dos parenteses.

Abraço.

Realmente. Percebi esse erro hoje cedo.

Obrigado! Vou rever as contas.

Olá novamente,

Observe que:
$9\times5\times2=90$
$9\times55\times22=9\times1210=10890$
$9\times555\times222=9\times123210=11108890$

$9\times A=9\times \underbrace{555...55}_{2007\,\,\text{cincos}} \times\underbrace{222...22}_{2007\,\,\text{dois}}=\underbrace{111...11}_{2006\,\,\text{uns}}0\underbrace{888...88}_{2006\,\,\text{oitos}}90$

Logo a soma pedida será:
$S=2006 \cdot 1 + 2006 \cdot 8 + 9= 2006\cdot 9 +9 =2007\cdot 9$
$\boxed{S=18063}$

Abraço.

fiz de outra forma:

observe que:
[tex3]5*2 = 10[/tex3]
[tex3]55*2 = 110[/tex3]
[tex3]555*2 = 1110[/tex3]
=
[tex3]5*2 = 10[/tex3]
[tex3]5*22 = 110[/tex3]
[tex3]5*222 = 1110[/tex3]

logo ("2007 numeros 5 vezes 2007 numeros 2" = A) terão 2007 numeros "1", e a soma deles é justamente igual a 2007*1 = 2007
como o exercicio pede 9A temos 9*2007 = 18063

hum, pensando melhor, deu certo por acaso talvez, alguém sabe porque? D:

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