Ensino Médio ⇒ Sistemas lineares - Geometria Analítica Tópico resolvido

[estrela]

Uma liga metálica L1 contém 30% de ouro e 70% de prata, e outra liga L2 contém 60% de ouro e 40% de prata. Quantos gramas devemos tomar de cada liga para obter 100 gramas de uma outra liga L(3 ) com igual quantidade de ouro e prata?

[emanuel9393]

Olá, estrela!

Sendo

Código: Selecionar tudo

[tex3]m_{1}[/tex3]

e

Código: Selecionar tudo

[tex3]m_{2}[/tex3]

a massa das duas ligas. A massa de ouro (

Código: Selecionar tudo

[tex3]m_{o}[/tex3]

) da mistura é dada por:

Código: Selecionar tudo

[tex3]m_{o} \, = \, 0,3 \cdot m_{1} \, + \, 0,6 \cdot m_{2} \,\,\,\, (I)[/tex3]

A massa de prata será dada por:

Código: Selecionar tudo

[tex3]m_{p} \, = \, 0,7 \cdot m_{1} \, + \, 0,4 \cdot m_{2} \,\,\,\,\,\, (II)[/tex3]

Como devemos ter a mesma quantidade de prata e ouro, podemos fazer:

Código: Selecionar tudo

[tex3]m_{o} \, = \, m_{p} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, 0,3 \cdot m_{1} \, + \, 0,6 \cdot m_{2} \, = \, 0,7 \cdot m_{1} \, + \, 0,4 \cdot m_{2} \\ \\ 0,2 \cdot m_{2} \, = \, 0,4 \cdot m_{1} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, m_{2} \, = \, 2 \cdot m_{1} \,\,\, (III)[/tex3]

Através da equação

Código: Selecionar tudo

[tex3](III)[/tex3]

interpretamos que a massa da liga 2 a ser colocada na mistura deve ser o dobro da massa da liga 1. Agora, olhe essa parte do enunciado:

Quantos gramas devemos tomar de cada liga para obter 100 gramas de uma outra liga

Dessa parte do enunciado, tomamos:

Código: Selecionar tudo

[tex3]m_{1} \, + \, m_{2} \, = \, 100 \,\,\, \Rightarrow \,\,\, m_{1} \, + \, 2 \cdot m_{1} \, = \, 100 \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \boxed{\boxed{m_{1} \, = \, 33,33 \,\, g}}[/tex3]

Como sabemos:

Código: Selecionar tudo

[tex3]m_{2} \, = \, 2 \cdot m_{1} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \boxed{\boxed{m_{2} \, = \, 66,67 \,\, g}}[/tex3]

Acredito que seja isso.
Um abraço!

[estrela]

Obrigada Emanuel, por me responder.
Tentando resolver o problema, cheguei em outra solução.
Veja:

Massa Ouro (%) Prata (%)
Liga1(x) 30 70
Liga2(y) 60 40
Lig 3 50 50

Partindo daí, cheguei a um sistema:
[tex3]30x + 60y = 50[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]30x + 60y = 50[/tex3]

[tex3]70x + 40y = 50[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]70x + 40y = 50[/tex3]

Resolvendo o sistema, encontrei como resposta:

x = 1/3
y = 2/3


Então, se coloca 1/3 da liga 1 e 2/3 da liga 2.
O que você acha?
Estou com dúvidas...

[emanuel9393]

Olá, estrela!

A sua resolução contém um erro. Veja essa parte:

Partindo daí, cheguei a um sistema:
[tex3]\begin{cases}30x \, + \, 60y \, = \, 50 \\70x \, + \, 40y \, = \, 50\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}30x \, + \, 60y \, = \, 50 \\70x \, + \, 40y \, = \, 50\end{cases}[/tex3]

Observe que em cada equação você está relacionando massa (ex.:

Código: Selecionar tudo

[tex3]30x \, + \, 60y[/tex3]

) com porcentagem (

Código: Selecionar tudo

[tex3]50[/tex3]

) e isso é muito incoerente.
Existem várias formas de resolver a sua questão, postei somente a mais assimilável.

Um abraço!