Resolver o sistema:
[tex3]\left{ 2x+y=\frac{1}{x^2} \\ x+2y=\frac{1}{y^2}[/tex3]
Ensino Médio ⇒ Sistema
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Out 2010
22
17:07
Re: Sistema
Olá Natan. Estive tentando resolver o sistema desenvolvendo-o manualmente, pois possivelmente era esse o seu interesse, mas não consegui. Contudo, digitei-o numa [tex3]TI-nspire\,CAS[/tex3]
, a qual me deu os resultados de [tex3]x \text{ e }y[/tex3]
. Possivelmente, isso já você sabe, se o livro donde o tirou tiver a solução final. Se não sabe,ou se eles ajudarem de alguma forma, aqui vão:
[tex3]x\,=\,0,6157070613168 \text{ e }y\,=\,0,70322290486366[/tex3]
ou, na forma de fração:
[tex3]x\,=\,\frac{5950850}{9665067}\text{ e }y\,=\,\frac{3569698}{5076197}[/tex3] .
[tex3]x\,=\,0,6157070613168 \text{ e }y\,=\,0,70322290486366[/tex3]
ou, na forma de fração:
[tex3]x\,=\,\frac{5950850}{9665067}\text{ e }y\,=\,\frac{3569698}{5076197}[/tex3] .
Última edição: olgario (Sex 22 Out, 2010 17:07). Total de 2 vezes.
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adrianotavares
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Out 2010
24
21:06
Re: Sistema
Olá, Natan.
[tex3]2x+y=\frac{1}{x^2}[/tex3] [tex3](i)[/tex3]
[tex3]x+2y=\frac{1}{y^2}[/tex3] [tex3](ii)[/tex3]
Fazendo-se [tex3](i) - (ii)[/tex3] teremos:
[tex3]x-y=\frac{y^2-x^2}{x^2y^2} \Rightarrow x-y=\frac{(y-x)(y+x)}{x^2y^2} \Rightarrow \frac{(x-y)}{(y-x)}=\frac{(y+x)}{x^2y^2}[/tex3] [tex3](iii)[/tex3]
Multiplicando por [tex3](-1)[/tex3] o numerador e denominador do primeiro membro teremos:
[tex3]\frac{(-1)(x-y)}{(-1)(y-x)}=\frac{(y+x)}{x^2y^2} \Rightarrow \frac{-1(x-y)}{(x-y)}=\frac{(y+x)}{x^2y^2} \Rightarrow (-1)x^2y^2=y+x[/tex3] [tex3](iv)[/tex3]
[tex3]y=\frac{1}{x^2}-2x \Rightarrow y=\frac{1-2x^3}{x^2}[/tex3] [tex3](v)[/tex3]
Substituindo [tex3](v)[/tex3] em [tex3](iv)[/tex3] teremos:
[tex3](-1)x^2\left(\frac{1-4x^3+4x^6}{x^4}\right)=x+\frac{1-2x^3}{x^2} \Rightarrow \frac{-1+4x^3-4x^6}{x^2}=\frac{x^3+1-2x^3}{x^2} \Rightarrow[/tex3]
[tex3]4x^3-4x^6-1=-x^3+1 \Rightarrow 4x^6-5x^3+2=0[/tex3]
Fazendo-se [tex3]x^3=z[/tex3] teremos:
[tex3]4z^2-5z+2=0[/tex3]
Resolvendo essa equação do 2ºgrau verifica-se que não há raizes reais.
[tex3]2x+y=\frac{1}{x^2}[/tex3] [tex3](i)[/tex3]
[tex3]x+2y=\frac{1}{y^2}[/tex3] [tex3](ii)[/tex3]
Fazendo-se [tex3](i) - (ii)[/tex3] teremos:
[tex3]x-y=\frac{y^2-x^2}{x^2y^2} \Rightarrow x-y=\frac{(y-x)(y+x)}{x^2y^2} \Rightarrow \frac{(x-y)}{(y-x)}=\frac{(y+x)}{x^2y^2}[/tex3] [tex3](iii)[/tex3]
Multiplicando por [tex3](-1)[/tex3] o numerador e denominador do primeiro membro teremos:
[tex3]\frac{(-1)(x-y)}{(-1)(y-x)}=\frac{(y+x)}{x^2y^2} \Rightarrow \frac{-1(x-y)}{(x-y)}=\frac{(y+x)}{x^2y^2} \Rightarrow (-1)x^2y^2=y+x[/tex3] [tex3](iv)[/tex3]
[tex3]y=\frac{1}{x^2}-2x \Rightarrow y=\frac{1-2x^3}{x^2}[/tex3] [tex3](v)[/tex3]
Substituindo [tex3](v)[/tex3] em [tex3](iv)[/tex3] teremos:
[tex3](-1)x^2\left(\frac{1-4x^3+4x^6}{x^4}\right)=x+\frac{1-2x^3}{x^2} \Rightarrow \frac{-1+4x^3-4x^6}{x^2}=\frac{x^3+1-2x^3}{x^2} \Rightarrow[/tex3]
[tex3]4x^3-4x^6-1=-x^3+1 \Rightarrow 4x^6-5x^3+2=0[/tex3]
Fazendo-se [tex3]x^3=z[/tex3] teremos:
[tex3]4z^2-5z+2=0[/tex3]
Resolvendo essa equação do 2ºgrau verifica-se que não há raizes reais.
Última edição: adrianotavares (Dom 24 Out, 2010 21:06). Total de 1 vez.
Out 2010
25
16:51
Re: Sistema
Natan escreveu:A solução não é essa olgario.
Tem razão Natan.
Eu me enganei ao digitar o sistema na calculadora.
Eu fiz:
[tex3]\begin {cases}
2x+2y=\frac{1}{x^2}\\
x+2y=\frac{1}{y^2}\end{cases}[/tex3]
Desta forma dá os valores que eu dei.
Na forma correta, tal como você digitou, dá [tex3]x\,=\,y[/tex3]
[tex3]x\,= \,0,6933612743506\text{ e }y\,=\,0,6933612743506[/tex3]
ou
[tex3]x\,=\,\frac{9467817}{13654955}\text{ e }y\,=\,\frac{4294349}{6193523}[/tex3]
Última edição: olgario (Seg 25 Out, 2010 16:51). Total de 1 vez.
Out 2010
25
19:51
Re: Sistema
Olá adriano,
o sistema tem sim solução. O erro ocorreu na seguinte passagem:
[tex3]\frac{-1\cancel{(x-y)}}{\cancel{(x-y)}}=\frac{(y+x)}{x^2y^2} \Rightarrow (-1)x^2y^2=y+x[/tex3]
quando você fez o cancelamento que eu explicitei, você supos que [tex3]x \neq y[/tex3] o que levou a não ter solução, e como de fato não tem nesse caso.
a solução é justamente da forma [tex3]x=y[/tex3] que foi desconsiderada durante os cálculos. A saber, a solução é [tex3]x=y=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}[/tex3]
pronto é só considerar agora o caso em que [tex3]x=y[/tex3] e chegar na solução.
valeu mesmo adriano, como sempre muito bem sacado!
o sistema tem sim solução. O erro ocorreu na seguinte passagem:
[tex3]\frac{-1\cancel{(x-y)}}{\cancel{(x-y)}}=\frac{(y+x)}{x^2y^2} \Rightarrow (-1)x^2y^2=y+x[/tex3]
quando você fez o cancelamento que eu explicitei, você supos que [tex3]x \neq y[/tex3] o que levou a não ter solução, e como de fato não tem nesse caso.
a solução é justamente da forma [tex3]x=y[/tex3] que foi desconsiderada durante os cálculos. A saber, a solução é [tex3]x=y=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}[/tex3]
pronto é só considerar agora o caso em que [tex3]x=y[/tex3] e chegar na solução.
valeu mesmo adriano, como sempre muito bem sacado!
Última edição: Natan (Seg 25 Out, 2010 19:51). Total de 1 vez.
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