Ensino Médio ⇒ Qual o cumprimento do poste

[andersontricordiano]

Um muro com y metros de altura se encontra a x metros de uma parede de um edifício. Um poste está tocando a parede e apoiada sobre o muro faz um ângulo Q com o chão, sendo tg Q = (y/x)^(1/3). Suponha que o poste e a parede são perpendiculares ao chão e que este é plano.
O comprimento do poste é:

muro exercicio.jpg (14.32 KiB) Exibido 2051 vezes

resposta.jpg (7.54 KiB) Exibido 2051 vezes

[F u r u y á]

Solução

---

Considere a figura abaixo:

poste.png (5.47 KiB) Exibido 2016 vezes

[tex3]\triangle{ABC}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\triangle{ABC}[/tex3]

:

• [tex3]\begin{matrix}{ccrcl}\tan{Q} &=&\frac{y}{a} &=& \left ( \frac{y}{x} \right ) ^{1\over3}\\
  &&a &=& \frac{x^{1\over3}y}{y^{1\over3}} \\
  &&a &=& x^{1\over3}y^{2\over3} \\ \end{matrix}[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]\begin{matrix}{ccrcl}\tan{Q} &=&\frac{y}{a} &=& \left ( \frac{y}{x} \right ) ^{1\over3}\\
&&a &=& \frac{x^{1\over3}y}{y^{1\over3}} \\
&&a &=& x^{1\over3}y^{2\over3} \\ \end{matrix}[/tex3]

A partir da identidade trigonométrica fundamental:

• [tex3]\begin{matrix}{rcl}\sec^2{Q} &=& \tan^2{Q} + 1 \\
  \frac{1}{\cos^2{Q}} &=& \tan^2{Q} + 1 \\
  \cos^2{Q} &=& \frac{1}{\tan^2{Q} + 1} \\
  &=& \frac{1}{\left({\frac{y}{x}}\right)^{2\over3}+1} \\
  &=& \frac{1}{\frac{x^{2\over3}+y^{2\over3}}{x^{2\over3}}} \\
  &=& \frac{x^{2\over3}}{x^{2\over3}+y^{2\over3}}\\
  \cos{Q} &=& \frac{x^{1\over3}}{\left(x^{2\over3}+y^{2\over3}\right)^{1\over2}} \\
  \cos{Q} &=& x^{1\over3}\left(x^{2\over3}+y^{2\over3}\right)^{-{1\over2}} \end{matrix}[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]\begin{matrix}{rcl}\sec^2{Q} &=& \tan^2{Q} + 1 \\
\frac{1}{\cos^2{Q}} &=& \tan^2{Q} + 1 \\
\cos^2{Q} &=& \frac{1}{\tan^2{Q} + 1} \\
&=& \frac{1}{\left({\frac{y}{x}}\right)^{2\over3}+1} \\
&=& \frac{1}{\frac{x^{2\over3}+y^{2\over3}}{x^{2\over3}}} \\
&=& \frac{x^{2\over3}}{x^{2\over3}+y^{2\over3}}\\
\cos{Q} &=& \frac{x^{1\over3}}{\left(x^{2\over3}+y^{2\over3}\right)^{1\over2}} \\
\cos{Q} &=& x^{1\over3}\left(x^{2\over3}+y^{2\over3}\right)^{-{1\over2}} \end{matrix}[/tex3]

[tex3]\triangle{AED}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\triangle{AED}[/tex3]

:

• [tex3]\begin{matrix}{rcl}x+a &=& x + x^{1\over3}y^{2\over3} \\
  \cos{Q} &=& \frac{x+a}{p} \\
  p &=& \frac{x+a}{\cos{Q}} \\
  &=& \frac{x + x^{1\over3}y^{2\over3}} {x^{1\over3}\left(x^{2\over3}+y^{2\over3}\right)^{-{1\over2}}} \\
  &=& \frac{x + x^{1\over3}y^{2\over3}}{x^{1\over3}}\left(x^{2\over3}+y^{2\over3}\right)^{1\over2} \\
  &=& \left( x^{2\over3}+y^{2\over3}\right ) \left( x^{2\over3}+y^{2\over3}\right)^{1\over2} \\
  &&\boxed{p = \left( x^{2\over3}+y^{2\over3}\right)^{{3\over2}}\end{matrix}[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]\begin{matrix}{rcl}x+a &=& x + x^{1\over3}y^{2\over3} \\
\cos{Q} &=& \frac{x+a}{p} \\
p &=& \frac{x+a}{\cos{Q}} \\
&=& \frac{x + x^{1\over3}y^{2\over3}} {x^{1\over3}\left(x^{2\over3}+y^{2\over3}\right)^{-{1\over2}}} \\
&=& \frac{x + x^{1\over3}y^{2\over3}}{x^{1\over3}}\left(x^{2\over3}+y^{2\over3}\right)^{1\over2} \\
&=& \left( x^{2\over3}+y^{2\over3}\right ) \left( x^{2\over3}+y^{2\over3}\right)^{1\over2} \\
&&\boxed{p = \left( x^{2\over3}+y^{2\over3}\right)^{{3\over2}}\end{matrix}[/tex3]