Um muro com y metros de altura se encontra a x metros de uma parede de um edifício. Um poste está tocando a parede e apoiada sobre o muro faz um ângulo Q com o chão, sendo tg Q = (y/x)^(1/3). Suponha que o poste e a parede são perpendiculares ao chão e que este é plano.
O comprimento do poste é:
Ensino Médio ⇒ Qual o cumprimento do poste
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Qual o cumprimento do poste
Última edição: andersontricordiano (Qua 19 Jan, 2011 12:09). Total de 1 vez.
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Fev 2011
01
16:14
Re: Qual o cumprimento do poste
Solução
Considere a figura abaixo:
[tex3]\triangle{ABC}[/tex3] :
- [tex3]\begin{matrix}{ccrcl}\tan{Q} &=&\frac{y}{a} &=& \left ( \frac{y}{x} \right ) ^{1\over3}\\
&&a &=& \frac{x^{1\over3}y}{y^{1\over3}} \\
&&a &=& x^{1\over3}y^{2\over3} \\ \end{matrix}[/tex3]
A partir da identidade trigonométrica fundamental:
- [tex3]\begin{matrix}{rcl}\sec^2{Q} &=& \tan^2{Q} + 1 \\
\frac{1}{\cos^2{Q}} &=& \tan^2{Q} + 1 \\
\cos^2{Q} &=& \frac{1}{\tan^2{Q} + 1} \\
&=& \frac{1}{\left({\frac{y}{x}}\right)^{2\over3}+1} \\
&=& \frac{1}{\frac{x^{2\over3}+y^{2\over3}}{x^{2\over3}}} \\
&=& \frac{x^{2\over3}}{x^{2\over3}+y^{2\over3}}\\
\cos{Q} &=& \frac{x^{1\over3}}{\left(x^{2\over3}+y^{2\over3}\right)^{1\over2}} \\
\cos{Q} &=& x^{1\over3}\left(x^{2\over3}+y^{2\over3}\right)^{-{1\over2}} \end{matrix}[/tex3]
[tex3]\triangle{AED}[/tex3] :
- [tex3]\begin{matrix}{rcl}x+a &=& x + x^{1\over3}y^{2\over3} \\
\cos{Q} &=& \frac{x+a}{p} \\
p &=& \frac{x+a}{\cos{Q}} \\
&=& \frac{x + x^{1\over3}y^{2\over3}} {x^{1\over3}\left(x^{2\over3}+y^{2\over3}\right)^{-{1\over2}}} \\
&=& \frac{x + x^{1\over3}y^{2\over3}}{x^{1\over3}}\left(x^{2\over3}+y^{2\over3}\right)^{1\over2} \\
&=& \left( x^{2\over3}+y^{2\over3}\right ) \left( x^{2\over3}+y^{2\over3}\right)^{1\over2} \\
&&\boxed{p = \left( x^{2\over3}+y^{2\over3}\right)^{{3\over2}}\end{matrix}[/tex3]
Última edição: F u r u y á (Ter 01 Fev, 2011 16:14). Total de 1 vez.
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