Ensino MédioPolinômios Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

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menelaus
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Abr 2015 20 11:16

Polinômios

Mensagem não lida por menelaus »

Os restos das divisões de P(x) por x+1, x-1 e x-2 são 5, -1 e -1, respectivamente. Qual é o resto da divisão de P(x) pelo produto (x^2-1)(x-2)?
Resposta

x^2-3x+1

Última edição: menelaus (Seg 20 Abr, 2015 11:16). Total de 1 vez.



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fabit
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Abr 2015 20 12:41

Re: Polinômios

Mensagem não lida por fabit »

Se liga no grau!

Quando divide por x+1, é resto é uma constante porque x+1 é de grau 1. O mesmo ocorre com os outros dois divisores afins, mas possivelmente as constantes mudam.

Já quando divide pelo produto [tex3](x^2-1)(x-2)=(x+1)(x-1)(x-2)[/tex3] , que tem grau 3, o resto tem grau máximo 2, que você escreve [tex3]r(x)=ax^2+bx+c[/tex3] .

A pergunta do enunciado demanda que vc encontre os coeficientes [tex3]a[/tex3] , [tex3]b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] .

Obs: eu não disse que r(x) tem grau 2 e sim que tem grau máximo 2, porque vc pode resolver o sistema que virá e o valor do a ser zero. b e c também podem zerar. Enfim, só não pode r(x) ter grau 3 ou maior.

As divisões euclideanas são escritas:
[tex3]P(x)=Q_1(x)(x+1)+5[/tex3]
[tex3]P(x)=Q_2(x)(x-1)-1[/tex3]
[tex3]P(x)=Q_3(x)(x-2)-1[/tex3]
[tex3]P(x)=Q_4(x)(x+1)(x-1)(x-2)+r(x)[/tex3]

Substituindo x por -1, 1 ou 2 na última fica [tex3]P(-1)=r(-1)[/tex3] , [tex3]P(1)=r(1)[/tex3] e [tex3]P(2)=r(2)[/tex3] .

Essas substituições nas três primeias, levando em conta o que está acima, geram:
[tex3]P(-1)=5\Rightarrow5=r(-1)\Rightarrow a-b+c=5[/tex3]
[tex3]P(1)=-1\Rightarrow-1=r(1)\Rightarrow a+b+c=-1[/tex3]
[tex3]P(2)=-1\Rightarrow-1=r(2)\Rightarrow4a+2b+c=-1[/tex3]

O sistema acima dá acesso direto ao b por subtração entre as duas primeiras:
[tex3]b-(-b)=-1-5\Rightarrow2b=-6[/tex3]
[tex3]\boxed{b=-3}[/tex3]

Continuando com esse b na terceira e em qq das duas primeiras (eu vou pegar a segunda, mas tanto faz):
[tex3]a-3+c=-1\Rightarrow a+c=2[/tex3]
[tex3]4a-6+c=-1\Rightarrow4a+c=5[/tex3]

Subtrai que dá [tex3]3a=3[/tex3]
[tex3]\boxed{a=1}[/tex3]

Na primeira já fica [tex3]\boxed{c=1}[/tex3] .

Conclusão: [tex3]\boxed{\boxed{r(x)=x^2-3x+1}}[/tex3]

Última edição: fabit (Seg 20 Abr, 2015 12:41). Total de 1 vez.


SAUDAÇÕES RUBRONEGRAS HEXACAMPEÃS !!!!!!!!!!!

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