Ensino MédioPolinômios Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

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Cássio
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Mar 2012 20 14:50

Polinômios

Mensagem não lida por Cássio »

O polinômio P é tal que P(x)+xP(2-x)=x^2+3 para todo x real.

a) Mostre que o grau de P é 1.

b) Determine P.

Última edição: Cássio (Ter 20 Mar, 2012 14:50). Total de 1 vez.


"Se você se sente menos e menos satisfeito com suas respostas a perguntas que você mesmo elabora mais e mais perfeitamente, é sinal de que sua capacidade intelectual está aumentando."
Charles Churchman

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caju
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Re: Polinômios

Mensagem não lida por caju »

Olá Cássio

Sempre que temos uma igualdade de polinômios, temos que garantir que os polinômios dos dois lados da igualdade possuem o mesmo grau.

Do lado direito da igualdade da sua questão temos um polinômio de segundo grau.

Do lado esquerdo temos uma soma de dois polinômios. Em uma soma, o grau do polinômio resultante terá o grau do polinômio de maior grau.
Veja que temos P(x) somado com xP(2-x), ou seja, xP(2-x) terá um grau uma unidade maior do que P(x) pois está multiplicando por x.
Sendo assim, o grau do lado esquerdo é o grau de xP(2-x). Para garantirmos que este polinômio (xP(2-x)) seja do segundo grau (para ter o mesmo grau do lado direito), temos que P(2-x) deve ser do primeiro grau (para multiplicar por x e virar de segundo grau).

Assim, P(x)=ax+b e P(2-x)=a(2-x)+b. Substituindo na equação do enunciado:

ax+b+x[a(2-x)+b]=x^2+3

-ax^2+(3a+b)x+b=x^2+3

Devemos, então, igualar os coeficientes dos termos de mesmo grau de ambos os lados:

-a=1\,\,\rightarrow \,\,\boxed{a=-1}

3a+b=0\,\,\rightarrow \,\,3(-1)+b=0\,\,\rightarrow \,\,\boxed{b=3}

Chegamos ao valor de \boxed{P(x)=-x+3}

Grande abraço,
Prof. Caju

Última edição: caju (Qua 21 Mar, 2012 21:47). Total de 1 vez.


"A beleza de ser um eterno aprendiz..."

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