Ensino Médio

Uma das raízes da equação [tex3]z^{4}[/tex3] = - 8 + 8 [tex3]\sqrt{3}[/tex3] i também é raiz da equação

a) [tex3]x^{2}[/tex3] + 2 [tex3]\sqrt{3}[/tex3] + 4 = 0
b) [tex3]x^{2}[/tex3] + 3 = 0
c) [tex3]x^{2}[/tex3] - 2 [tex3]\sqrt{3}[/tex3] + 6 = 0
d) [tex3]x^{2}[/tex3] - 4 [tex3]\sqrt{3}[/tex3] + 16 = 0
e) [tex3]x^{2}[/tex3] + 4 [tex3]\sqrt{3}[/tex3] + 13 = 0

Olá,

Primeiro descobrindo o argumento de Z:

[tex3]tg\theta = \frac{8\sqrt{3}}{-8}[/tex3]

[tex3]tg\theta = -\sqrt{3}[/tex3]

[tex3]\theta = \frac{2\pi }{3}[/tex3]

Então o argumento de Z é: [tex3]\frac{2\pi }{3}[/tex3]

Por segundo, o módulo de Z:

[tex3]|Z| = \sqrt{(-8)^2+(8\sqrt{3)^2}}=16[/tex3]

Agora para calcular as raízes de [tex3]z^{4}[/tex3] usaremos a fórmula:

[tex3]\sqrt[4]{Z}= \sqrt[4]{|Z|}.(cos\left(\frac{\theta +2k\pi }{4})+sen\left(\frac{\theta +2k\pi }{4}\right).i)[/tex3]

com K variando de 0 até 3.

Logo:

Para k = 0

[tex3]\sqrt[4]{Z}= 2.(cos\left(\frac{\pi }{6})+sen\left(\frac{\pi }{6}\right).i)[/tex3]

[tex3]\sqrt[4]{Z}=\sqrt{3}+i[/tex3]

Para k = 1

[tex3]\sqrt[4]{Z}= 2.(cos\left(\frac{2\pi }{3})+sen\left(\frac{2\pi }{3}\right).i)[/tex3]

[tex3]\sqrt[4]{Z}= -1+\sqrt{3}.i[/tex3]

Para k = 2

[tex3]\sqrt[4]{Z}= 2.(cos\left(\frac{7\pi }{6})+sen\left(\frac{7\pi }{6}\right).i)[/tex3]

[tex3]\sqrt[4]{Z}= {-\sqrt{3}-i[/tex3]

Para k = 3

[tex3]\sqrt[4]{Z}= 2.(cos\left(\frac{5\pi }{3})+sen\left(\frac{5\pi }{3}\right).i)[/tex3]

[tex3]\sqrt[4]{Z}= 1-\sqrt{3}.i[/tex3]

vish, nenhuma dessas raízes bate com as alternativas

Olá, nathy.

$z^4 = -8 + 8\sqrt{3}i \therefore z^4 = 16 \cdot \left( -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt3}{2} \cdot i \right) \therefore z^4 = 2^4 \cdot \operatorname{cis} \left( \frac{2\pi}{3} \right)$

Da Segunda Lei de DeMoivre, as raízes são tais que:

$z = 2 \cdot \operatorname{cis} \left( \frac{\frac{2\pi}{3} + 2k\pi}{4} \right) \therefore z = 2 \cdot \operatorname{cis} \left( \frac{\pi \cdot (1+3k)}{6} \right), k = 0,1,2,3 : \\\\ \begin{cases} z_1 = 2 \cdot \operatorname{cis} \left( \frac{\pi}{6} \right ) \therefore z_1 = \sqrt{3} + i \\ z_2 = 2 \cdot \operatorname{cis} \left( \frac{2\pi}{3} \right ) \therefore z_2 = -1 + \sqrt{3}i \\ z_3 = 2 \cdot \operatorname{cis} \left( \frac{7\pi}{6} \right) \therefore z_3 = -\sqrt3 - i \\ z_4 = 2 \cdot \operatorname{cis} \left( \frac{5\pi}{3} \right) \therefore z_4 = 1 - \sqrt 3i \end{cases}$

Nenhuma das alternativas serve.

Abraços,
Pedro

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