Ensino Médio ⇒ Números complexos

[Natan]

Sabe-se que o número complexo [tex3]2i[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2i[/tex3]

é raíz da equação [tex3]x^6-6x^5+17x^4-34x^3+52x^2-40x=0.[/tex3]

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[tex3]x^6-6x^5+17x^4-34x^3+52x^2-40x=0.[/tex3]

Representando todas as raízes no plano complexo, obtém-se um polígono. Qual o volume do sólido de revolução gerado pela rotação desse polígono em torno do eixo imaginário?

[AlexandreHDK]

Vamos lá, essa questão é meio trabalhosa.
Olhando para a equação, é meio que óbvio que uma raiz "fácil" é o zero.
Tem outra regra de polinômios, que diz que se ele possui coeficientes reais, então ele possui raizes simétricas, ou seja, como já foi dado que 2i é uma das raízes, então já sabemos que -2i também é uma das raízes ( a regra diz que se existe uma raiz na forma (a + bi), então (a - bi) também é uma raiz ). Com estas 3 raízes, podemos reduzir a ordem do polinômio e chegar à seguinte equação:
x^3 - 6x^2 + 13x - 10 = 0
Ok, equação do 3º grau tem como resolver pelo método de Cardano, e eu que estou preguiçoso usei o site http://www.profcardy.com/calculadoras/aplicativos.php para me fornecer a resposta direto, encontrando as raízes {x = 2}, {x = 2 + i} e {x = 2 - i}.
Plotando os 6 pontos e ligando-os, vemos que forma um trapézio com uma das bases em cima do eixo imaginário. Dá para visualizar então que o sólido de revolução pode ser separado em 2 cones de raio igual a 2 e altura igual a 1, mais um cilindro de raio igual a 2 e altura igual a 2 também. Então, fazendo umas continhas, chegamos ao volume de 32*pi/3