Ensino MédioMostre II

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jothar
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Jun 2010 25 00:29

Mostre II

Mensagem não lida por jothar »

Dados dois números [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] reais e positivos, chama-se média aritmética de [tex3]x[/tex3] com [tex3]y[/tex3] o real [tex3]a = \frac{x + y}{2}[/tex3] e chama-se média geométrica o real [tex3]g =\sqrt{xy}[/tex3] . Mostre que [tex3]a\geq g[/tex3] para todos [tex3]x[/tex3] , [tex3]y\in{R_{+}[/tex3] .

Última edição: jothar (Sex 25 Jun, 2010 00:29). Total de 1 vez.


"Parece-me que Deus escreveu o Universo com linguagem matemática" Galilei - Galileu

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Nesaxtoie
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Jun 2010 26 09:44

Re: Mostre II

Mensagem não lida por Nesaxtoie »

Olá Jothar.
A primeira coisa que devemos notar é x e y são números reais positivos. Isso é importante.
Começarei com a seguinte expressão:

[tex3](x-y)^2\geq 0[/tex3]

Note que ela é válida para quaisquer números reais, sejam eles positivos ou negativos. Manipulando-a:

[tex3](x-y)^2\geq 0\Rightarrow x^2-2xy+y^2\geq 0 \Rightarrow x^2+y^2\geq 2xy[/tex3]

Somando-se agora [tex3]2xy[/tex3] a ambos os lados da inequação acima, obtemos
[tex3]x^2+2xy+y^2\geq 4xy \Rightarrow \frac{x^2+2xy+y^2}{4}\geq xy\Rightarrow \frac{(x+y)^2}{4}\geq xy \Rightarrow[/tex3] pelo fato de x e y serem positivos, podemos tirar a raiz [tex3]\Rightarrow \frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}[/tex3] .

Última edição: Nesaxtoie (Sáb 26 Jun, 2010 09:44). Total de 1 vez.



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