mostre q pelo Princıpio da Indução Matematica que Para todo número natural n vale a seguinte afirmação:
[tex3]\frac{1}{1,3} + \frac{1}{3,5}[/tex3]
+ ... + [tex3]\frac{1}{(2k-1).(2k+1)} = \frac{k}{2k+1}[/tex3]
Eu estou tendo dificuldades em realizar a indução, meu resultado da uma coisa absurda, vcs poderiam me ajudar?
Ensino Médio ⇒ Indução matemática Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Ago 2012
13
09:14
Indução matemática
Última edição: fenixxx (Seg 13 Ago, 2012 09:14). Total de 1 vez.
Ago 2012
13
10:34
Re: Indução matemática
Seja Sn a soma dos n termos.
P/n=1
[tex3]S1 = \frac{1}{2.1 + 1} = \frac{1}{3}[/tex3] - (Verdadeiro)
Supondo que seja válida para n=k
[tex3]Sk = \frac{k}{2.k + 1}[/tex3]
Fazendo agora S(k+1):
[tex3]S(k+1) = \frac{k+1}{2.(k+1) + 1}[/tex3] - Hipótese
Sabemos que [tex3]S(k+1) = Sk + \frac{1}{[2.(k+1)-1][2.(k+1)+1]}=Sk + \frac{1}{[2k +1][2k+3]}[/tex3]
Como [tex3]Sk = \frac{k}{2.k + 1}[/tex3] ficamos com:
[tex3]\frac{k}{2.k + 1} + \frac{1}{[2k +1][2k+3]} = \frac{1}{2k+1}(k +\frac{1}{2k+3}) = \frac{1}{2k+1}(\frac{2k^{2} + 3k + 1}{2k+3})[/tex3]
[tex3]\frac{1}{2k+1}[\frac{k^{2} + k + (k^{2} + 2k + 1)}{2k+3}] = \frac{1}{2k+1}[\frac{k(k+1) + (k + 1)^{2}}{2k+3}] = \frac{1}{2k+1}\frac{(k+1)(2k+1)}{2k+3} = \frac{1}{\cancel{2k+1}}\frac{(k+1)\cancel{(2k+1)}}{2k+3}[/tex3]
[tex3]S(k+1) = \frac{k+1}{2k +3} = \frac{k+1}{2k +2 + 1} = \frac{k+1}{2(k+1) +1}[/tex3] - Hipótese confirmada
Abraço.
P/n=1
[tex3]S1 = \frac{1}{2.1 + 1} = \frac{1}{3}[/tex3] - (Verdadeiro)
Supondo que seja válida para n=k
[tex3]Sk = \frac{k}{2.k + 1}[/tex3]
Fazendo agora S(k+1):
[tex3]S(k+1) = \frac{k+1}{2.(k+1) + 1}[/tex3] - Hipótese
Sabemos que [tex3]S(k+1) = Sk + \frac{1}{[2.(k+1)-1][2.(k+1)+1]}=Sk + \frac{1}{[2k +1][2k+3]}[/tex3]
Como [tex3]Sk = \frac{k}{2.k + 1}[/tex3] ficamos com:
[tex3]\frac{k}{2.k + 1} + \frac{1}{[2k +1][2k+3]} = \frac{1}{2k+1}(k +\frac{1}{2k+3}) = \frac{1}{2k+1}(\frac{2k^{2} + 3k + 1}{2k+3})[/tex3]
[tex3]\frac{1}{2k+1}[\frac{k^{2} + k + (k^{2} + 2k + 1)}{2k+3}] = \frac{1}{2k+1}[\frac{k(k+1) + (k + 1)^{2}}{2k+3}] = \frac{1}{2k+1}\frac{(k+1)(2k+1)}{2k+3} = \frac{1}{\cancel{2k+1}}\frac{(k+1)\cancel{(2k+1)}}{2k+3}[/tex3]
[tex3]S(k+1) = \frac{k+1}{2k +3} = \frac{k+1}{2k +2 + 1} = \frac{k+1}{2(k+1) +1}[/tex3] - Hipótese confirmada
Abraço.
Última edição: Alexander (Seg 13 Ago, 2012 10:34). Total de 1 vez.
...I've seen things you people wouldn't believe. Attack ships on fire off the shoulder of Orion. I watched C-beams glitter in the dark near the Tannhauser gate. All those moments will be lost in time... like tears in rain... Time to die.
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