Ensino Médio

Se $a$ é a média geométrica entre os números $b$ e $c$ , então $a^2=b\cdot c$ . Forme um sistema de equações aplicando o Teorema de Pitágoras no cone e escrevendo que a altura do cone é igual à média geométrica entre o raio e a geratriz $(H^2= r\cdot g)$ , isto é : $g=H^2/r$ . A partir desse sistema determine a razão $H/r$ .

Tem certeza do enunciado?

Veja:

$\begin{cases} g^2 = h^2 + r^2 \\ h^2 = r \cdot g \end{cases} \\\\ g^2 = r \cdot g + r^2 \therefore g^2 = r \cdot (g + r) \therefore \frac{g^2}{g + r} = r \therefore \\\\ \frac{\frac{h^4}{r^2}}{\frac{h^2}{r} + r} = r \therefore \frac{\frac{h^4}{r^2}}{\frac{h^2 + r^2}{r}} = r \therefore \frac{h^4}{r^2} = h^2 + r^2$

Daqui pra frente não tem muito o que se fazer.

Att.,
Pedro

Olá, Gabriel!

Considere o cone da figura abaixo.

: tutpr 02.png (8.39 KiB) Exibido 372 vezes

Da figura temos o seguinte sistema de equações:

$\begin{cases}H^2 = g^2 - r^2 \ \ (I) \\ g = \dfrac{H^2}{r}\ \ \ \ \ \ \ \ (II) \end{cases}$

Substituindo $(II)$ em $(I)$ , encontramos:

$\left(\dfrac{H}{r}\right)^2 = \left(\dfrac{H}{r}\right)^4 - 1$

Fazendo $a = \left(\dfrac{H}{r}\right)^2$ , resolvemos a equação $a^2 - a -1 = 0$ e encontramos $a=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ , pois $a$ não pode ser negativo. Logo:

$\boxed{\boxed{\dfrac{H}{r} = \pm \sqrt{\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}}}}$

Qualquer dúvida, pode perguntar!
Grande abraço!

Obrigado PedroCunha e emanuel9393. Realmente é uma solução bem simples mas não me passou pela cabeça fazer essa substituição.

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