Ensino Médio

Por favor me ajudem.
Gostaria de saber COMO achar o valor de Y, creio que irá cair em um sistema. A receita será a função polinomial? Vi em um vídeo que a receita é a quantidade x preço, (R=x.p), está correto? Se sim, não entendi se há ligação entre a função polinomial e a receita.

Segue o exercício:

A Editora Progresso decidiu promover o lançamento do livro Descobrindo o Pantanal em uma Feira Internacional
de Livros, em 2012. Uma pesquisa feita pelo departamento de Marketing estimou a quantidade de livros
adquirida pelos consumidores em função do preço de cada exemplar.
Preço de Venda = Quantidade Vendida
R$ 100,00 = 30
R$ 90,00 = 40
R$ 85,00 = 45
R$ 80,00 = 50
Considere que os dados da tabela possam ser expressos mediante uma função polinomial do 1º grau
y = a ⋅ x + b, em que x representa a quantidade de livros vendida e y, o preço de cada exemplar.
a) Que preço de venda de cada livro maximizaria a receita da editora?
Resposta: 65,00

Veja, se a relação entre preço e quantidade vendida pode ser ajustada a uma função de 1º grau, podemos utilizar dois pares ordenados (preço e quantidade vendida) para acharmos os parâmetros $a$ e $b$ da função de 1º grau:

$\begin{cases} 100=30a+b \\ 90=40a+b\end{cases}$

Resolvendo o sistema de duas equações obtemos:
$a=-1 \ e \ b=130$

Daí, a função de 1º grau que representa o preço de cada exemplar $(y)$ em função de seu custo (x) fica:
$y=-x+130$

A receita (R) é quanto se recebe com a venda, que nada mais é que o produto do preço de cada exemplar pelo ser custo:
$R=x \cdot y$
$R=x \cdot (-x+130)$
$R=-x^2 +130x$

Essa é uma função de 2º grau, em que o número de exemplares (x) que maxima a receita é dado pela abscissa do vértice:
$x_v=-\frac{b}{2a}=-\frac{130}{2 \cdot (-1)}=65$

Ou seja a receita máxima é obtida quando se vendem 65 exemplares.
O valor de cada livro (y) é dado por:
$y=-x+130$
$R=-65+130=R\$ \ 65,00$

Espero ter ajudado!

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