Ensino Médio ⇒ Demonstração área de um triângulo (Geometria analítica)

[Celticpark]

Galera, estou procurando na internet já há algum tempo a demonstração da fórmula da área de um triângulo na geometria analítica, mas não acho.

Alguém sabe ou poderia me dizer onde eu poderia encontrar esse demonstração para auxiliar meus estudos e entender de onde vem essa fórmula?

[tex3]S =\frac{1}{2}|\left[\begin{array}{cc} Xa &&& Ya &&& 1 \\ Xb &&& Yb &&& 1\\ Xc &&& Yc &&& 1 \end{array}\right]|[/tex3]

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[tex3]S =\frac{1}{2}|\left[\begin{array}{cc} Xa &&& Ya &&& 1 \\ Xb &&& Yb &&& 1\\ Xc &&& Yc &&& 1 \end{array}\right]|[/tex3]

Abraço

[andrecaldas]

Acho que falta alguma coisa. Pela fórmula que você colocou, se Ya = Yb = Yc = 1, então a área é 0... o que não é verdade.

O módulo do determinante (3x3) é o volume do paralelepípedo. Se conseguir um paralelepípedo com "altura" 1 e "base" dada por X e Y, este paralelepípedo terá volume igual a área do paralelogramo da base (descrito por X e Y). A área do triângulo é a metade da área do paralelogramo.

Talvez a fórmula que você queira seja com i, j, k no lugar de 1,1,1. Neste caso, o módulo do determinante é o mesmo que o módulo do produto vetorial
[tex3]|X \times Y|[/tex3]

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[tex3]|X \times Y|[/tex3]

.
Que, novamente é a área do paralelogramo. A metade disso é a área do triângulo. Mas isso não é "ensino médio"...

[Chris]

Isso é ensino médio sim. E a fórmula está totalmente correta. De fato, se os três y's são 1, significa que os três pontos estão alinhados, portanto não se forma um triângulo. Tanto é que para conferir a condição de alinhamento entre três pontos se resolve exatamente esse determinante, igualando o mesmo a zero. Na verdada, só para aumentar um pouco, se os três valores de x ou de y forem iguais (não precisa ser 1) esse determinante dá zero, já que uma coluna será múltipla da outra. Quando isso acontece, o determinante é zero.

Eu já lembro de ter deduzido essa fórmula uma vez. É bem trabalhoso. Se não me engano, você faz a reta em função de dois pontos quaisquer (A e B) e calcula a distÂncia dessa reta até o ponto C. Isso seria a altura. Depois faz a distÂncia entre A e B. Depois multiplica os dois. O resultado vai acabar sendo o mesmo que o resultado desse determinante. Posso estar errado, porque faz um tempinho, mas acho que é isso.

[andrecaldas]

Isso é ensino médio sim.

Oops... eu tava falando do produto exterior. Mas pra dizer a verdade, nem sei se produto exterior faz parte do currículo ou não.

Se não me engano, você faz a reta em função de dois pontos quaisquer (A e B) e calcula a distÂncia dessa reta até o ponto C...

Ah... agora que entendi onde está o triângulo. Pensei que era o triângulo em [tex3]\mathbb{R}^3[/tex3]

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[tex3]\mathbb{R}^3[/tex3]

formado pelos vetores X = (Xa, Xb, Xc) e Y = (Ya, Yb, Yc). Não havia reparado nos índices "a", "b" e "c".

Só pra deixar claro quem é o triângulo "ABC"... as coordenadas do ponto "A" no PLANO são (Xa,Ya). O mesmo para B e C. Certo?
Então, os vetores v1 = (Xa, Ya, 1), v2 = (Xb, Yb, 1), v3 = (Xc, Yc, 1) formam uma pirâmide "de cabeça para baixo" (um quarto de um paralelepípedo) com altura 1 e base formada pelo triângulo ABC deslocado para o plano Z = 1. A altura da pirâmide é 1 porque a base está no plano Z = 1, e a distância deste plano até a origem é 1. Assim, o volume da pirâmide é igual à metade da área da base, ou seja, metade da área do triângulo. Mas o volume da pirâmide também é um quarto do volume do paralelepípedo com arestas v1, v2 e v3, que por sua vez é igual ao módulo do determinante.

Assim, a área do triângulo é o dobro do volume da pirâmide. Ou seja, metade do volume do paralelepípedo. E portanto, metade do módulo do determinante.

Ficou meio "acoxambrado"... mas é o mais geométrico que consegui. Só tem que saber que o módulo do determinante é o volume do paralelepípedo.

Será que alguém quer fazer um desenho?

[Celticpark]

Hum ok, tentarei em breve seguir os passos e posto aqui se eu conseguir, obrigado pela ajuda de todos

[andrecaldas]

Oops... parece que o volume da pirâmide é [tex3]\frac{1}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{3}[/tex3]

da área da base (triângulo) e não metade como eu havia afirmado.

Volume da pirâmide [tex3]\frac{1}{3}Bh[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{3}Bh[/tex3]

. B: área da base, h: altura.

Acaba dando certo, porque ao contrário do que afirmei, o volume do paralelepípedo também não é 4 vezes o da pirâmide!! O volume do paralelepípedo é 6 vezes o da pirâmide, mas não é tão fácil assim verificar.

Particionando um paralelepípedo em pirâmides.

piramides.png (17.78 KiB) Exibido 8585 vezes

O ponto G, no nosso caso é a origem.
E = (Xa, Ya, 1)
C = (Xb, Yb, 1)
D = (Xc, Yc, 1)
(troquei tudo quanto foi letra )

O triângulo em questão é o triângulo CEH. A pirâmide é CEHG. Todas as quatro pirâmides CEHG, CHBD, CEBA, EHBF (vermelha, verde, azul, preta) tem o mesmo volume. No meio sobra a pirâmide CEHB, com base CEH. Basta agora mostrar que a altura de CEHB é o dobro da altura de CEHG.

Note que o triângulo está no plano Z=1. O ponto B tem coordenadas
B = E + C + D = (*, *, 3).

Portanto, a distância de B ao plano Z=1 -- ou seja, a altura da pirâmide que sobrou, é 2.

Concluímos que o volume do paralelepípedo é 6 vezes o da pirâmide. Uma das coisas que ficou um pouquinho "acoxambrado" foi o fato de as quatro pirâmides terem o mesmo volume.