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Mensagem não lidapor **gabrielifce** » 19 Nov 2015, 00:18 · 19 Nov 2015, 00:18

Seja $x=\sqrt{a^{2}+a+1}-\sqrt{a^{2}-a+1}$ . Se $a$ é um parâmetro, então o conjunto de todos os valores reais assumidos por $x$ é :

Resposta

(-1;1)

Mensagem não lidapor **undefinied3** » 19 Nov 2015, 01:44 · 19 Nov 2015, 01:44

Questão interessante, batalhei um pouquinho mas consegui resolver sem cálculo de limite. Veja no que pensei:
$x=\sqrt{a^{2}+a+1}-\sqrt{a^{2}-a+1}$
Vamos completar os quadrados dentro das raízes e obter:
$x=\sqrt{(a+\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt3}{2})^2}-\sqrt{(a-\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt3}{2})^2}$
Veja que interessante, obtemos basicamente uma diferença entre duas distâncias. Uma distância é entre os pontos $(a,0)$ e $(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt3}{2})$ e a outra é entre os pontos $(a,0)$ e $(\frac{1}{2},\frac{\sqrt3}{2})$ . Segue uma imagem para ajudar a visualizar o resto da resolução.
Veja que podemos fechar um triângulo tal que um dos lados sempre mede um. Pela desigualdade triângular, temos as relações:
$D_{1}+1>D_{2} \rightarrow D_{1}-D_{2}>-1$
$D_{2}+1>D_{1} \rightarrow D_{1}-D_{2}<1$
Sendo $x=D_{1}-D_{2}$ , segue que $x \in (-1,1)$

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