Ensino FundamentalNúmeros primos Tópico resolvido

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menelaus
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Números primos

Mensagem não lida por menelaus »

Determinar o número que admite 6 divisores inteiros positivos, cuja soma deles seja igual a 104.
Resposta

gabarito : 63

Última edição: menelaus (Qua 15 Jan, 2014 02:02). Total de 1 vez.



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caju
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Re: Números primos

Mensagem não lida por caju »

Olá menelaus,

Sabendo que a regra prática para determinar-se a quantidade de divisores de um número N=(p_1)^{n_1}\times (p_2)^{n_2}\times (p_3)^{n_3}\cdots (p_k)^{n_k}, com p_1, p_2,... números primos, é:

\boxed{\text{qtd. divisores N}=(n_1+1)\cdot(n_2+1)\cdot(n_3+1)\cdots(n_k+1)}

Podemos concluir que um número N que admita 6 divisores tem que ser da forma N=(p_1)^1\cdot (p_2)^2, pois (1+1)\cdot(2+1)=6.

Assim, os divisores de N serão:

\text{divisores de N}=\{1,\,\,p_1,\,\,p_2,\,\,p_1p_2,\,\,p_1p_2^2,\,\,p_2^2\}

O enunciado diz que a soma destes números é 104:

1+p_1+p_2+p_1p_2+p_1p_2^2+p_2^2=104

Arrumando a ordem dos elementos desta equação:

p_2^2+p_1p_2^2+p_2+p_1p_2+1+p_1=104

Colocando alguns termos em evidência:

p_2^2(1+p_1)+p_2(1+p_1)+1+p_1=104

Colocando o (1+p_1) em evidência e fatorando o 104:

(1+p_1)(p_2^2+p_2+1)=8\times 13

*Aqui poderíamos ter escolhido colocar o 104 como 26\times 4 ou qualquer outra forma. Mas, chegaríamos em valores para p_1 ou p_2 que não são primos, absurdo!

Podemos, portanto, fazer o sistema:

\begin{cases}
1+p_1=8 \\ 
p_2^2+p_2+1=13
\end{cases}

Resolvendo este sistema, chegamos em \boxed{\boxed{p_1=7}} \text{ e } \boxed{\boxed{p_2=3}}, que nos resulta \boxed{\boxed{N=7\times 3^2=63}}.

Grande abraço,
Prof. Caju

Última edição: caju (Ter 15 Abr, 2014 22:30). Total de 1 vez.


"A beleza de ser um eterno aprendiz..."

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