Maratonas de Matemática

Mensagem não lidapor **PedroCunha** » 07 Dez 2014, 19:59 · Mensagem não lida por **PedroCunha** » 07 Dez 2014, 19:59

Solução do problema 110

Letra a;

[tex3]x + \frac{1}{x} = b \therefore x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = b^2 \therefore x^2 + \frac{1}{x^2} = b^2 - 2[/tex3]

Letra b:

[tex3]x^2-5x+8-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2} = 0 \therefore \left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right) - 5 \cdot \left( x + \frac{1}{x} \right) + 8 = 0[/tex3]

Fazendo a substituição [tex3]x + \frac{1}{x} = y[/tex3] e notando que [tex3]x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2-2[/tex3] . temos:

[tex3]y^2-2 - 5y+8 = 0 \therefore y^2-5y+6 = 0 \Leftrightarrow y = 2 \text{ ou } y = 3[/tex3]

Desfazendo a troca:

[tex3]\begin{cases}

x+\frac{1}{x} = 2 \therefore x^2 - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \\
x + \frac{1}{x} = 3 \therefore x^2 - 3x+1 =0 \Leftrightarrow x = \frac{3\pm\sqrt{5}}{2}

\end{cases}[/tex3]

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Problema 111

(FUVEST-2015) Sabe-se que existem números reais [tex3]A[/tex3] e [tex3]x_0[/tex3] , sendo [tex3]A > 0[/tex3] , tais que [tex3]\sin x + 2\cos x = A \cdot \cos (x - x_0)[/tex3] para todo [tex3]x[/tex3] real. O valor de [tex3]A[/tex3] é igual a

a) [tex3]\sqrt{ 2 }[/tex3]
b) [tex3]\sqrt{ 3 }[/tex3]
c) [tex3]\sqrt{ 5 }[/tex3]
d) [tex3]2\sqrt2[/tex3]
e) [tex3]2\sqrt3[/tex3]

Gabarito

Alternativa c

Mensagem não lidapor **poti** » 08 Dez 2014, 13:26 · Mensagem não lida por **poti** » 08 Dez 2014, 13:26

Solução do Problema 111

[tex3]y^2 + (2y)^2 = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{\sqrt{5}}[/tex3]

Então, [tex3]y = sen(x_0) \ e \ 2y = cos(x_0), \ \text{para algum} \ x_0[/tex3]

[tex3]sen(x) + 2cos(x) = \frac{y}{y} [sen(x) + 2cos(x)] = \frac{1}{y} [y \cdot sen(x) + 2y \cdot cos(x)] \\ = \frac{1}{y} \cdot cos(x-x_0) = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{5}}} \cdot cos(x - x_0) = \sqrt{5} \cdot cos(x - x_0)[/tex3]

[tex3]\boxed{A = \sqrt{5}}[/tex3]

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Problema 112

(Fuvest - 1981) Seis pessoas, A, B, C, D, E e F, vão atravessar um rio em 3 horas. Distribuindo-se ao acaso as pessoas de modo que fiquem duas em cada barco, a probabilidade de A atravessar junto com B, C junto com D e E junto com F, é:

a) 1/5
b) 1/10
c) 1/15
d) 1/20
e) 1/25

Resposta

c

Mensagem não lidapor **PedroCunha** » 08 Dez 2014, 14:08 · Mensagem não lida por **PedroCunha** » 08 Dez 2014, 14:08

Solução do problema 112

Total de possibilidades:

[tex3]C6,2 \cdot C4,2 \cdot C2,2 = 90[/tex3]

Considerando A e B como 'um bloco', C e D como outro e E e F como outro, temos [tex3]3! = 6[/tex3] maneiras de arranja-los. Assim, a probabilidade pedida é: [tex3]\frac{6}{90} = \frac{1}{15}[/tex3] .

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Problema 113

(FUVEST-1980) Numa circunferência está inscrito um triângulo [tex3]ABC[/tex3] ; seu lado [tex3]BC[/tex3] é igual ao raio da circunferência. O ângulo [tex3]B\hat{A}C[/tex3] mede:

a) [tex3]15^{\circ}[/tex3]
b) [tex3]30^{\circ}[/tex3]
c) [tex3]36^{\circ}[/tex3]
d) [tex3]45^{\circ}[/tex3]
e) [tex3]60^{\circ}[/tex3]

Resposta

Alternativa b

Mensagem não lidapor **poti** » 08 Dez 2014, 15:31 · Mensagem não lida por **poti** » 08 Dez 2014, 15:31

Solução do Problema 113

Usando a Lei dos Senos:

[tex3]\frac{R}{sen(\hat{BAC})} = 2R[/tex3]

[tex3]sen(\hat{BAC}) = \frac{1}{2}[/tex3]

[tex3]\boxed{\hat{BAC} = 30^{\circ}}[/tex3]

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Problema 114

(Fuvest - 89) De [tex3]2x^4 - x^3 < 0[/tex3] pode-se concluir que:

a) [tex3]0 < x < 1[/tex3]
b) [tex3]1 < x < 2[/tex3]
c) [tex3]-1 < x < 0[/tex3]
d) [tex3]-2 < x < -1[/tex3]
e) [tex3]x < -1 \ ou \ x > 1[/tex3]

Resposta

a

Mensagem não lidapor **PedroCunha** » 08 Dez 2014, 17:05 · Mensagem não lida por **PedroCunha** » 08 Dez 2014, 17:05

Solução do problema 114

[tex3]2x^4 - x^3 < 0 \therefore x^2 \cdot (2x^2 - x) < 0[/tex3]

Como [tex3]x^2 \geq 0 \,\, \forall \,\, x \,\, \in \mathbb{R}[/tex3] , basta termos:

[tex3]2x^2-x < 0 \Leftrightarrow x \cdot (2x-1) < 0[/tex3]

Dois casos:

[tex3]\begin{cases}

x < 0 \text{ e } 2x-1 > 0 \rightarrow \emptyset \\
x > 0 \text{ e } 2x-1 < 0 \rightarrow 0 < x < \frac{1}{2}

\end{cases}[/tex3]

Questão sem gabarito.

¹WolframAlpha

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Problema 115

(FUVEST-2008) A medida [tex3]x[/tex3] , em radianos, de um ângulo satisfaz [tex3]\frac{\pi}{2} < x < \pi[/tex3] e verifica a equação [tex3]\sin x + \sin (2x) + \sin(3x) = 0[/tex3] . Assim,

a) determine [tex3]x[/tex3] .
b) calcule [tex3]cos x + \cos(2x) + \cos(3x)[/tex3]

Resposta

Letra a: [tex3]x = \frac{2\pi}{3} \,\,[/tex3]
Letra b: [tex3]\cos x + \cos(2x) + \cos(3x) = 0[/tex3]

Mensagem não lidapor **poti** » 09 Dez 2014, 16:57 · Mensagem não lida por **poti** » 09 Dez 2014, 16:57

Solução do Problema 115
a) Prostaferese:

[tex3]sen(x) + sen(3x) = 2 \cdot sen(2x) \cdot cos(x)[/tex3]

Substituindo:

[tex3]2 \cdot sen(2x) \cdot cos(x) + sen(2x) = 0[/tex3]
[tex3]sen(2x) \cdot (2cos(x) + 1) = 0[/tex3]
[tex3]sen(2x) = 0 \ \vee \ 2cos(x) + 1 = 0[/tex3]

[tex3]x = \frac{k\pi}{2}, \ k \in \mathbb{Z} \ \vee \ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \ k \in \mathbb{Z}[/tex3]

Como o intervalo é restrito a [tex3]\frac{\pi}{2} < x < \pi[/tex3] , tira-se

[tex3]\boxed{x = \frac{2\pi}{3}}[/tex3]

b) Substituindo:

[tex3]cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} \\ cos(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2} \\ cos(\frac{6\pi}{3}) = 1[/tex3]

[tex3]\boxed{cos(x) + cos(2x) + cos(3x) = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 1 = 0}[/tex3]

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Problema 116

(Fuvest - 1999) A reta [tex3]r[/tex3] tem equação [tex3]2x + y = 3[/tex3] e intercepta o eixo [tex3]x[/tex3] no ponto [tex3]A[/tex3] . A reta s passa pelo ponto [tex3]P = (1,2)[/tex3] e é perpendicular a [tex3]r[/tex3] . Sendo [tex3]B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] os pontos onde [tex3]s[/tex3] intercepta o eixo [tex3]x[/tex3] e a reta [tex3]r[/tex3] , respectivamente,
a) Determine a equação de [tex3]s[/tex3] .
b) Calcule a área do triângulo [tex3]ABC[/tex3] .

Resposta

a) [tex3]y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}[/tex3]
b) [tex3]\frac{81}{20} ua[/tex3]

Mensagem não lidapor **PedroCunha** » 09 Dez 2014, 22:01 · Mensagem não lida por **PedroCunha** » 09 Dez 2014, 22:01

Solução do problema 116

[tex3]\begin{cases}

(r): 2x+y = 3 \therefore y = -2x+3 \rightarrow m_r = -2 \\
A: y_r = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2} \iff A\left( \frac{3}{2}, 0 \right) \\
(s): m_s = \frac{1}{2} \Leftrightarrow y - 2 = \frac{1}{2} \cdot (x-1) \therefore y = \frac{x+3}{2} \\
B: y_s = 0 \Leftrightarrow x = -3 \iff (-3,0) \\
C: y_r = y_s \therefore -4x+6 = x+3 \therefore -5x = -3 \therefore x = \frac{3}{5} \rightarrow y = \frac{9}{5} \iff C\left( \frac{3}{5}, \frac{9}{5} \right)

\end{cases}[/tex3]

Letra a:

[tex3](s): y = \frac{x+3}{2} \text{ ou } x - 2y + 3 = 0[/tex3]

Letra b:

[tex3]S_{\triangle_{ABC}} = \frac{\left|\begin{vmatrix} \frac{3}{2} & 0 & 1 \\ -3 & 0 & 1 \\ \frac{3}{5} & \frac{9}{5} & 1 \end{vmatrix} \begin{matrix} \frac{3}{2} & 0 \\ -3 & 0 \\ \frac{3}{5} & \frac{9}{5} \end{matrix}\right|}{2} \therefore S_{\triangle_{ABC}} = \frac{\left| -\frac{27}{5} - \frac{27}{10} \right|}{2} = \frac{81}{20} u.a.[/tex3]

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Problema 117

(UNICAMP-2004) Os pontos A, B, C e D pertencem ao gráfico da função [tex3]y = \frac{1}{x}, x> 0[/tex3] .. As abscissas de A, B e C são iguais a [tex3]2,3[/tex3] e [tex3]4[/tex3] , respectivamente, e o segmento AB é paralelo ao segmento CD.

a) Encontre as coordenadas do ponto D.
b) Mostre que a reta que passa pelos pontos médios dos segmentos AB e CD passa também pela origem.

Resposta

Letra a: [tex3]D\left( \frac{3}{2}, \frac{2}{3} \right)[/tex3]
Letra b: Demonstração

Mensagem não lidapor **Ittalo25** » 10 Dez 2014, 13:51 · Mensagem não lida por **Ittalo25** » 10 Dez 2014, 13:51

Solução do problema 117

Da função [tex3]y = \frac{1}{x}[/tex3] tem-se:

[tex3]A=(2,\frac{1}{2}), B = (3,\frac{1}{3}),C = (4,\frac{1}{4}), D = (x,y)[/tex3]

a)

A reta que passa por AB tem o mesmo coeficiente angular da reta que passa por CD:

[tex3]y - \frac{1}{4} = (\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}{2-3}).(x-4)[/tex3]

[tex3]y = \frac{-x}{6}+\frac{11}{12}[/tex3]

Substituindo:

[tex3]\frac{1}{x} = \frac{-x}{6}+\frac{11}{12}[/tex3]

[tex3]-2x^2+11x-12 = 0[/tex3]

[tex3]x = (\frac{3}{2},4)[/tex3]

Colocando essas abcissas na reta: [tex3]y = \frac{-x}{6}+\frac{11}{12}[/tex3] , encontra-se: [tex3]D = (\frac{3}{2},\frac{2}{3})[/tex3] e [tex3]C = (4,\frac{1}{4})[/tex3]

b)

Ponto médio AB:

[tex3]y = \frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{2} = \frac{5}{12}[/tex3]

[tex3]x = \frac{2+3}{2} = \frac{5}{2}[/tex3]

Ponto médio CD:

[tex3]y = \frac{\frac{1}{4}+\frac{2}{3}}{2} = \frac{11}{24}[/tex3]

[tex3]x = \frac{4+\frac{3}{2}}{2} = \frac{11}{4}[/tex3]

Reta que passa por esses pontos médios:

[tex3]y - \frac{11}{24} = (\frac{\frac{5}{12}-\frac{11}{24}}{\frac{5}{2}-\frac{11}{4}}).(x-\frac{11}{4})[/tex3]

Na origem (0,0):

[tex3]0 - \frac{11}{24} = (\frac{\frac{5}{12}-\frac{11}{24}}{\frac{5}{2}-\frac{11}{4}}).(0-\frac{11}{4})[/tex3]

[tex3]0 - \frac{11}{24} = (\frac{1}{6}).(0-\frac{11}{4})[/tex3]

[tex3]0 = 0[/tex3]

[tex3]c.q.d.[/tex3]

Problema 118

(Fuvest 2003) Duas retas s e t do plano cartesiano se interceptam no ponto (2.2). O produto de seus coeficientes angulares é 1 e a reta s intercepta o eixo dos y no ponto (0,3). A área do triângulo delimitado pelo eixo dos x e pelas retas s e t é:

a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6

Resposta

b)

Mensagem não lidapor **PedroCunha** » 10 Dez 2014, 14:18 · Mensagem não lida por **PedroCunha** » 10 Dez 2014, 14:18

Solução do problema 118

Sejam as retas [tex3](r): y = ax+b[/tex3] e [tex3](s): y = cx+d[/tex3] .

O ponto de interseção das retas é [tex3](2,2)[/tex3] . Tiramos três informações desse dado:

[tex3]\begin{cases}

2a+b = 2 \therefore b = 2-2a \\
2c+d = 2 \therefore d = 2-2c \\
2 \cdot (a-c) = d-b \therefore a-c = \frac{d-b}{2}

\end{cases}[/tex3]

O produto dos coeficientes angulares de (r) e (s) vale 1:

[tex3]a \cdot c = 1 \therefore a = \frac{1}{c}[/tex3]

(s) intercepta o eixo y no ponto [tex3](0,3)[/tex3] :

[tex3]3 = 0 \cdot c + d \rightarrow d = 3[/tex3]

Trabalhando nas equações dadas:

[tex3]\begin{cases}

d = 2-2c \therefore c = -\frac{3-2}{2} = -\frac{1}{2} \rightarrow a = -2 \rightarrow b = 6 \\

\end{cases}[/tex3]

Assim, [tex3](r): y = -2x+6, (s): -\frac{x}{2} + 3[/tex3] .

Os vértices do triângulo referido na questão serão a interseção das retas com o eixo x e a interseção delas. Encontremos esses vértices:

[tex3]\begin{cases}

(r): y = 0 \Leftrightarrow x = 3 \Leftrightarrow A(3,0) \\
(s): y = 0 \Leftrightarrow x = 6 \Leftrightarrow B(6,0) \\
(r) \cap (s): C(2,2)

\end{cases}[/tex3]

Assim, a área do triângulo é:

[tex3]S = \frac{\left| \begin{vmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 6 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} \begin{matrix} 3 & 0 \\ 6 & 0 \\ 2 & 2 \end{matrix} \right|}{2} \therefore S = \frac{|12-6|}{2} = 3u.a.[/tex3]

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Problema 119

(FUVEST-2003) Um telhado tem a forma da superfície lateral de uma pirâmide regular, de base quadrada. O lado da base mede [tex3]8m[/tex3] e a altura da pirâmide [tex3]3m[/tex3] . As telhas para cobrir esse telhado são vendidas em lotes que cobrem [tex3]1m^2[/tex3] . Supondo que possa haver [tex3]10[/tex3] lotes de telhas desperdiçadas (quebras e emendas), o número mínimo de lotes de telhas a ser comprado é:

a) 90
b) 100
c) 110
d) 120
e) 130

Resposta

Alternativa a

Mensagem não lidapor **Ittalo25** » 10 Dez 2014, 15:01 · Mensagem não lida por **Ittalo25** » 10 Dez 2014, 15:01

Solução do problema 119

Calculando o apótema da pirâmide:

[tex3]a = \sqrt{3^2+\left(\frac{8}{2}\right)^2} = 5 m[/tex3]

A área dos quatro triângulos da pirâmide:

[tex3]A = 4\cdot\frac{8\cdot5}{2} = 80m^2[/tex3]

Regra de três:

[tex3]\frac{1m^2}{80m^2}= \frac{1\text{ lote}}{x }[/tex3]

[tex3]x = 80m^2[/tex3]

Com as quebras:

[tex3]90m^2[/tex3]

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Problema 120

(Unicamp-1999) Se z = x+i.y é um número complexo, o número real x é chamado parte real de z e é indicado por Re[tex3](z)[/tex3] , ou seja, Re[tex3](x+i\cdot y)[/tex3] = x.

a) Mostre que o conjunto dos pontos (x,y) que satisfazem a equação [tex3]Re\left(\frac{z+2i}{z-2}\right)=\frac{1}{2}[/tex3] , ao qual se acrescenta o ponto (2,0), é uma circunferência.

b) Ache a equação da reta que passa pelo ponto (-2,0) e é tangente àquela circunferência.

Resposta

a) demonstração
b) y = x+2

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