a) [tex3]2\sqrt{3} \text{cm}[/tex3]
b) [tex3]3\sqrt{3} \text{cm}[/tex3]
c) [tex3]4\sqrt{3} \text{cm}[/tex3]
d) [tex3]5\sqrt{3} \text{cm}[/tex3]
Hola Caju e os demais amigos.
Gostaria de saber o que não está correto na resolução da questão abaixo, pois a questão tem como resposta a letra c.
Minha Solução:
Aplicando Pitágoras, temos:
[tex3]AB^2 = (2\sqrt{3})^2 + 6^2 \\
\bar{AB}^2 = 12 + 36 \\
\bar{AB}^2 = 48[/tex3]
[tex3]\bar{AB} = \sqrt{48},[/tex3] decompondo [tex3]48,[/tex3] fica:
[tex3]\bar{AB} = \sqrt{4^2\cdot 3}\\
\bar{AB} = 4\sqrt{3} \text{cm}.[/tex3]
Como eu já sabia o gabarito podem dizer que me orientei por ele.
Vamos supor que eu seja um aluno aplicado, e tenha bons conhecimento de trigonometria.
Aplicando a lei dos senos no triângulo [tex3]ABC,[/tex3] temos:
[tex3]\frac{2\sqrt{3}}{\text{sen}x} = \frac{6}{\text{sen}2x},[/tex3] das proporções vem que:
[tex3]6\cdot \text{sen} x = 2\sqrt{3}\cdot \text{sen} 2x,[/tex3] simplificando:
[tex3]3\cdot \text{sen} x = \sqrt{3}\cdot \text{sen} 2x,[/tex3] aplicando a fórmula da adição de dois arcos, fica:
[tex3]3\cdot \text{sen} x = \sqrt{3}\cdot (\text{sen} x\cdot cos x + \text{sen} x\cdot cos x) \\
3\cdot \text{sen} x = \sqrt{3}\cdot (2 \text{sen} x\cdot cos x )[/tex3]
[tex3]3\cdot \text{sen} x = 2\sqrt{3}\cdot \text{sen} x \cdot cos x,[/tex3] simplificando o [tex3]\text{sen} x,[/tex3] temos:
[tex3]3 = 2\sqrt{3}\cdot cos x,[/tex3] donde:
[tex3]cos x = \frac{3}{2\sqrt{3}},[/tex3] racionalizando fica:
[tex3]cos x = \frac{\sqrt{3}}{2},[/tex3] quando que o cosseno de [tex3]x[/tex3] é igual a [tex3]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3] ? Quando [tex3]x = 30^\circ.[/tex3] Daqui deduzimos que esse triângulo é retângulo em [tex3]B.[/tex3] Certo?
Mas vamos continuar já que eu sou um bom aluno, veja:
Aplicando a lei dos cossenos nesse triângulo [tex3]ABC[/tex3] em relação ao ângulo [tex3]x,[/tex3] temos:
[tex3](2\sqrt{3})^2 = 6^2 + \bar{AB}^2 - 2\cdot 6\cdot \bar{AB}\cdot cos x,[/tex3] mas [tex3]cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]
[tex3]12 = 36 + AB^2 - 2\cdot 6\cdot \bar{AB}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2},[/tex3] simplificando:
[tex3]12 = 36 + AB^2 - 6\cdot \sqrt{3}\cdot \bar{AB},[/tex3] ajeitando essa equação, temos:
[tex3]\bar{AB}^2 - 6\sqrt{3}\cdot \bar{AB} + 24 = 0,[/tex3] por Baskara, temos:
[tex3]\bar{AB} = \frac{6\sqrt{3} \pm \sqrt{(6\sqrt{3})^2 - 4\cdot 24}}{2}[/tex3]
[tex3]\bar{AB} = \frac{6\sqrt{3} \pm \sqrt{ 108 - 96}}{2}[/tex3]
[tex3]\bar{AB} = \frac{6\sqrt{3} \pm \sqrt{12}}{2},[/tex3] decompondo [tex3]12[/tex3] em seus fatores primos:
[tex3]\bar{AB} = \frac{6 \sqrt{3} \pm\sqrt{2^2\cdot 3}}{2}[/tex3]
[tex3]\bar{AB} = \frac{6\sqrt{3} \pm2\sqrt{3}}{2},[/tex3]
[tex3]\bar{AB} = \frac{2\cdot(3 \sqrt{3} \pm\sqrt{3})}{2},[/tex3]
[tex3]\bar{AB} = 3 \sqrt{3} \pm\sqrt{3},[/tex3] donde:
[tex3]\bar{AB}' = 3\sqrt{3} + \sqrt{3},[/tex3] soma de radicais:
[tex3]\bar{AB}' = 4\sqrt{3} \text{cm}[/tex3] letra C, e
[tex3]\bar{AB}' = 3\sqrt{3} - \sqrt{3},[/tex3] diferença de radicais:
[tex3]\bar{AB}' = 2\sqrt{3} \text{cm}[/tex3] letra A
E agora? Temos duas respostas. Onde errei? Como todo bom aluno tenho o direito de fazer alguma burrada.