Ensino MédioGeometria Plana: Triângulos

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
paulo testoni
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 1937
Registrado em: Qui 26 Out, 2006 17:01
Última visita: 09-02-23
Localização: Blumenau - Santa Catarina
Contato:
Fev 2007 05 11:10

Geometria Plana: Triângulos

Mensagem não lida por paulo testoni »

Num triângulo [tex3]ABC,[/tex3] o ângulo [tex3]\hat{A} = x,[/tex3] e o ângulo [tex3]\hat{B} = 2x.[/tex3] O lado [tex3]BC[/tex3] mede [tex3]2\sqrt{3} \text{cm}[/tex3] e o lado [tex3]AC[/tex3] mede [tex3]6 \text{cm}.[/tex3] Determinar o lado [tex3]AB.[/tex3]

a) [tex3]2\sqrt{3} \text{cm}[/tex3]
b) [tex3]3\sqrt{3} \text{cm}[/tex3]
c) [tex3]4\sqrt{3} \text{cm}[/tex3]
d) [tex3]5\sqrt{3} \text{cm}[/tex3]


Hola Caju e os demais amigos.
Gostaria de saber o que não está correto na resolução da questão abaixo, pois a questão tem como resposta a letra c.
Minha Solução:

Aplicando Pitágoras, temos:

[tex3]AB^2 = (2\sqrt{3})^2 + 6^2 \\
\bar{AB}^2 = 12 + 36 \\
\bar{AB}^2 = 48[/tex3]
[tex3]\bar{AB} = \sqrt{48},[/tex3] decompondo [tex3]48,[/tex3] fica:
[tex3]\bar{AB} = \sqrt{4^2\cdot 3}\\
\bar{AB} = 4\sqrt{3} \text{cm}.[/tex3]

Como eu já sabia o gabarito podem dizer que me orientei por ele.

Vamos supor que eu seja um aluno aplicado, e tenha bons conhecimento de trigonometria.

Aplicando a lei dos senos no triângulo [tex3]ABC,[/tex3] temos:

[tex3]\frac{2\sqrt{3}}{\text{sen}x} = \frac{6}{\text{sen}2x},[/tex3] das proporções vem que:
[tex3]6\cdot \text{sen} x = 2\sqrt{3}\cdot \text{sen} 2x,[/tex3] simplificando:
[tex3]3\cdot \text{sen} x = \sqrt{3}\cdot \text{sen} 2x,[/tex3] aplicando a fórmula da adição de dois arcos, fica:
[tex3]3\cdot \text{sen} x = \sqrt{3}\cdot (\text{sen} x\cdot cos x + \text{sen} x\cdot cos x) \\
3\cdot \text{sen} x = \sqrt{3}\cdot (2 \text{sen} x\cdot cos x )[/tex3]
[tex3]3\cdot \text{sen} x = 2\sqrt{3}\cdot \text{sen} x \cdot cos x,[/tex3] simplificando o [tex3]\text{sen} x,[/tex3] temos:
[tex3]3 = 2\sqrt{3}\cdot cos x,[/tex3] donde:
[tex3]cos x = \frac{3}{2\sqrt{3}},[/tex3] racionalizando fica:
[tex3]cos x = \frac{\sqrt{3}}{2},[/tex3] quando que o cosseno de [tex3]x[/tex3] é igual a [tex3]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3] ? Quando [tex3]x = 30^\circ.[/tex3] Daqui deduzimos que esse triângulo é retângulo em [tex3]B.[/tex3] Certo?

Mas vamos continuar já que eu sou um bom aluno, veja:

Aplicando a lei dos cossenos nesse triângulo [tex3]ABC[/tex3] em relação ao ângulo [tex3]x,[/tex3] temos:

[tex3](2\sqrt{3})^2 = 6^2 + \bar{AB}^2 - 2\cdot 6\cdot \bar{AB}\cdot cos x,[/tex3] mas [tex3]cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]
[tex3]12 = 36 + AB^2 - 2\cdot 6\cdot \bar{AB}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2},[/tex3] simplificando:
[tex3]12 = 36 + AB^2 - 6\cdot \sqrt{3}\cdot \bar{AB},[/tex3] ajeitando essa equação, temos:
[tex3]\bar{AB}^2 - 6\sqrt{3}\cdot \bar{AB} + 24 = 0,[/tex3] por Baskara, temos:
[tex3]\bar{AB} = \frac{6\sqrt{3} \pm \sqrt{(6\sqrt{3})^2 - 4\cdot 24}}{2}[/tex3]
[tex3]\bar{AB} = \frac{6\sqrt{3} \pm \sqrt{ 108 - 96}}{2}[/tex3]
[tex3]\bar{AB} = \frac{6\sqrt{3} \pm \sqrt{12}}{2},[/tex3] decompondo [tex3]12[/tex3] em seus fatores primos:
[tex3]\bar{AB} = \frac{6 \sqrt{3} \pm\sqrt{2^2\cdot 3}}{2}[/tex3]
[tex3]\bar{AB} = \frac{6\sqrt{3} \pm2\sqrt{3}}{2},[/tex3]
[tex3]\bar{AB} = \frac{2\cdot(3 \sqrt{3} \pm\sqrt{3})}{2},[/tex3]
[tex3]\bar{AB} = 3 \sqrt{3} \pm\sqrt{3},[/tex3] donde:

[tex3]\bar{AB}' = 3\sqrt{3} + \sqrt{3},[/tex3] soma de radicais:
[tex3]\bar{AB}' = 4\sqrt{3} \text{cm}[/tex3] letra C, e

[tex3]\bar{AB}' = 3\sqrt{3} - \sqrt{3},[/tex3] diferença de radicais:
[tex3]\bar{AB}' = 2\sqrt{3} \text{cm}[/tex3] letra A

E agora? Temos duas respostas. Onde errei? Como todo bom aluno tenho o direito de fazer alguma burrada.

Última edição: paulo testoni (Seg 05 Fev, 2007 11:10). Total de 1 vez.


Paulo Testoni

Avatar do usuário
Thales Gheós
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 1721
Registrado em: Sex 24 Nov, 2006 12:52
Última visita: 01-11-17
Localização: São Paulo - Brasil
Fev 2007 05 12:14

Re: Geometria Plana: Triângulos

Mensagem não lida por Thales Gheós »

Alô amigo Paulo Testoni,

Suas colocações são muito interessantes. Independentemente da primeira aplicação de Pitágoras, você mostrou pela aplicação dos senos que se trata de um triângulo retângulo de fato. Daí parece-me que ao resolver a equação do segundo grau em [tex3]AB[/tex3] a única resposta aceitável é [tex3]AB=4\sqrt{3}[/tex3] pois [tex3]2\sqrt{3}[/tex3] conduz a um triângulo isósceles que não é retângulo e deve ser descartada.

Esse é o meu ponto de vista.

abraço,

Última edição: Thales Gheós (Seg 05 Fev, 2007 12:14). Total de 1 vez.


"Si non e vero, e bene trovato..."

Avatar do usuário
Autor do Tópico
paulo testoni
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 1937
Registrado em: Qui 26 Out, 2006 17:01
Última visita: 09-02-23
Localização: Blumenau - Santa Catarina
Contato:
Fev 2007 05 16:15

Re: Geometria Plana: Triângulos

Mensagem não lida por paulo testoni »

Hola Thales.

Até aí tudo bem. Até porque se fosse aplicado o cosseno de [tex3]x[/tex3] inicialmente não teria saída. Acontece que eu desejo uma outra solução. Uma outra propriedade do tipo quem sabe: semelhança de triângulos, bissetrizes internas, sei lá.

Última edição: paulo testoni (Seg 05 Fev, 2007 16:15). Total de 1 vez.


Paulo Testoni

Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg
  • Nova mensagem Geometria Plana - Triângulos
    por HenryInfa » » em Ensino Médio
    1 Respostas
    1267 Exibições
    Última msg por Deleted User 23699
  • Nova mensagem (IME - 2018) Geometria Plana - Triângulos
    por iteana » » em IME / ITA
    1 Respostas
    179 Exibições
    Última msg por petras
  • Nova mensagem Geometria - Semelhança de triângulos
    por RAFAELMESMO » » em Ensino Médio
    7 Respostas
    3620 Exibições
    Última msg por petras
  • Nova mensagem Geometria - triângulos
    por Babi123 » » em Ensino Médio
    1 Respostas
    1225 Exibições
    Última msg por FelipeMartin
  • Nova mensagem Geometria - triângulos e círculos
    por Babi123 » » em Ensino Médio
    1 Respostas
    454 Exibições
    Última msg por petras

Voltar para “Ensino Médio”